Lineært forhold

Hva er et lineært forhold?

En lineær sammenheng (eller lineær assosiasjon) er et statistisk begrep som brukes for å beskrive et rettlinjet forhold mellom to variabler. Lineære sammenhenger kan uttrykkes enten i et grafisk format hvor variabelen og konstanten er forbundet via en rett linje eller i et matematisk format hvor den uavhengige variabelen multipliseres med helningskoeffisienten, addert med en konstant, som bestemmer den avhengige variabelen.

Et lineært forhold kan kontrasteres med et polynomisk eller ikke-lineært (buet) forhold.

Den lineære ligningen er:

Matematisk er en lineær sammenheng en som tilfredsstiller ligningen:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

I denne ligningen er "x" og "y" to variabler som er relatert med parameterne "m" og "b". Grafisk plotter y = mx + b i xy-planet som en linje med helning "m" og y-skjæringspunktet "b." Y-skjæringspunktet "b" er ganske enkelt verdien av "y" når x=0. Helningen "m" beregnes fra to individuelle punkter (x₁, y₁) og (x₂, y₂) som:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <annotasjonskoding ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

Hva forteller et lineært forhold deg?

Det er tre sett med nødvendige kriterier en likning må oppfylle for å kvalifisere som en lineær: en likning som uttrykker en lineær sammenheng kan ikke bestå av mer enn to variabler, alle variablene i en likning må være i første potens , og ligningen må tegnes som en rett linje.

Et vanlig brukt lineært forhold er en korrelasjon,. som beskriver hvor nær lineær mote en variabel endres relatert til endringer i en annen variabel.

I økonometri er lineær regresjon en ofte brukt metode for å generere lineære relasjoner for å forklare forskjellige fenomener. Det brukes ofte til å ekstrapolere hendelser fra fortiden for å lage prognoser for fremtiden. Ikke alle relasjoner er imidlertid lineære. Noen data beskriver relasjoner som er buede (for eksempel polynomforhold), mens andre data ikke kan parameteriseres.

Lineære funksjoner

Matematisk lik et lineært forhold er konseptet med en lineær funksjon. I en variabel kan en lineær funksjon skrives som følger:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text{y-avskjæring}\ \end</ annotation>$

Dette er identisk med den gitte formelen for et lineært forhold, bortsett fra at symbolet f(x) brukes i stedet for y. Denne erstatningen er gjort for å fremheve betydningen av at x er tilordnet f(x), mens bruk av y indikerer ganske enkelt at x og y er to størrelser, relatert til A og B.

I studiet av lineær algebra blir egenskapene til lineære funksjoner grundig studert og gjort strenge. Gitt en skalar C og to vektorer A og B fra R^N, sier den mest generelle definisjonen av en lineær funksjon at: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Eksempler på lineære relasjoner

Eksempel 1

Lineære forhold er ganske vanlig i dagliglivet. La oss ta begrepet hastighet for eksempel. Formelen vi bruker for å beregne hastighet er som følger: hastigheten er avstanden tilbakelagt over tid. Hvis noen i en hvit Chrysler Town and Country minivan fra 2007 reiser mellom Sacramento og Marysville i California, en strekning på 41,3 mil på Highway 99, og hele reisen ender opp med å ta 40 minutter, vil hun ha reist like under 60 mph .

Selv om det er mer enn to variabler i denne ligningen, er det fortsatt en lineær ligning fordi en av variablene alltid vil være en konstant (avstand).

Eksempel 2

En lineær sammenheng kan også finnes i ligningen avstand = rate x tid. Fordi avstand er et positivt tall (i de fleste tilfeller), vil dette lineære forholdet bli uttrykt i øvre høyre kvadrant av en graf med en X- og Y-akse.

Hvis en sykkel laget for to kjørte med en hastighet på 30 miles per time i 20 timer, vil syklisten ende opp med å reise 600 miles. Presentert grafisk med avstanden på Y-aksen og tiden på X-aksen, vil en linje som sporer avstanden over disse 20 timene reise rett ut fra konvergensen til X- og Y-aksen.

Eksempel 3

For å konvertere Celsius til Fahrenheit, eller Fahrenheit til Celsius, bruker du ligningene nedenfor. Disse ligningene uttrykker et lineært forhold på en graf:

$\degree C = \frac{5}{9}(\degree F - 32)$

$\grad F = \frac{9}{5}\grad C + 32$

Eksempel 4

Anta at den uavhengige variabelen er størrelsen på et hus (målt ved kvadratmeter) som bestemmer markedsprisen på et hjem (den avhengige variabelen) når den multipliseres med helningskoeffisienten på 207,65 og deretter legges til konstantleddet $10 500 . Hvis et hjems kvadratmeter er 1250, er markedsverdien av boligen (1250 x 207,65) + $10 500 = $270 062,50. Grafisk og matematisk ser det ut som følger:

I dette eksemplet, når størrelsen på huset øker, øker markedsverdien av huset på en lineær måte.

Noen lineære forhold mellom to objekter kan kalles et "proporsjonalt forhold." Dette forholdet fremstår som

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf\ &k=\text\ &Y, X=\text\ \end$

Når man analyserer atferdsdata, er det sjelden et perfekt lineært forhold mellom variabler. Imidlertid kan trendlinjer finnes i data som danner en grov versjon av et lineært forhold. For eksempel kan du se på det daglige salget av iskrem og den daglige høye temperaturen som de to variablene som spiller i en graf og finne en grov lineær sammenheng mellom de to.

Høydepunkter

Lineære sammenhenger kan uttrykkes enten i et grafisk format eller som en matematisk ligning av formen y = mx + b.

– Lineære forhold er ganske vanlig i dagliglivet.

En lineær sammenheng (eller lineær assosiasjon) er et statistisk begrep som brukes for å beskrive en rettlinjet sammenheng mellom to variabler.