Relação linear

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O que é uma relação linear?

Uma relação linear (ou associação linear) é um termo estatístico usado para descrever uma relação linear entre duas variáveis. As relações lineares podem ser expressas em um formato gráfico onde a variável e a constante são conectadas por uma linha reta ou em um formato matemático onde a variável independente é multiplicada pelo coeficiente de inclinação, adicionado por uma constante, que determina a variável dependente.

Uma relação linear pode ser contrastada com uma relação polinomial ou não linear (curva).

A equação linear é:

Matematicamente, uma relação linear é aquela que satisfaz a equação:

$\begin &y = mx + b \ &\textbf\ &m=\text\ &b=\text\ \end$

Nesta equação, “x” e “y” são duas variáveis que estão relacionadas pelos parâmetros “m” e “b”. Graficamente, y = mx + b plota no plano xy como uma linha com inclinação “m” e interceptação y “b”. A interceptação y “b” é simplesmente o valor de “y” quando x = 0. A inclinação “m” é calculada a partir de quaisquer dois pontos individuais (x₁, y₁) e (x₂, y₂) como:

$m = (y_{2} - y_{1}) </ mrow> (x_{2} - < msub> x 1) <codificação de anotação ="application/x-tex">m = \frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)}$

O que um relacionamento linear lhe diz?

Existem três conjuntos de critérios necessários que uma equação deve atender para se qualificar como linear: uma equação que expressa uma relação linear não pode consistir em mais de duas variáveis, todas as variáveis em uma equação devem ser à primeira potência , e a equação deve representar graficamente como uma linha reta.

Uma relação linear comumente usada é uma correlação,. que descreve o quão próximo da moda linear uma variável muda em relação às mudanças em outra variável.

Em econometria,. a regressão linear é um método frequentemente usado para gerar relações lineares para explicar vários fenômenos. É comumente usado na extrapolação de eventos do passado para fazer previsões para o futuro. Nem todos os relacionamentos são lineares, no entanto. Alguns dados descrevem relacionamentos que são curvos (como relacionamentos polinomiais), enquanto outros dados ainda não podem ser parametrizados.

Funções lineares

Matematicamente semelhante a uma relação linear é o conceito de uma função linear. Em uma variável, uma função linear pode ser escrita da seguinte forma:

$\begin &f (x) = mx + b \ &\textbf\ &m=\text{inclinação}\ &b=\text\ \end</ annotation>$

Isso é idêntico à fórmula dada para uma relação linear, exceto que o símbolo f(x) é usado no lugar de y. Essa substituição é feita para destacar o significado de que x é mapeado para f(x), enquanto o o uso de y simplesmente indica que x e y são duas quantidades, relacionadas por A e B.

No estudo da álgebra linear, as propriedades das funções lineares são extensivamente estudadas e tornadas rigorosas. Dado um C escalar e dois vetores A e B de R^N, a definição mais geral de uma função linear afirma que: $c \times f( A +B) = c \times f(A) + c \times f(B)$

Exemplos de relacionamentos lineares

Exemplo 1

As relações lineares são bastante comuns na vida cotidiana. Tomemos, por exemplo, o conceito de velocidade. A fórmula que usamos para calcular a velocidade é a seguinte: a taxa de velocidade é a distância percorrida ao longo do tempo. Se alguém em uma minivan branca da Chrysler Town and Country 2007 estiver viajando entre Sacramento e Marysville, na Califórnia, um trecho de 41,3 milhas na Highway 99, e a viagem completa acabar levando 40 minutos, ela estará viajando a pouco menos de 60 mph .

Embora haja mais de duas variáveis nesta equação, ainda é uma equação linear porque uma das variáveis sempre será uma constante (distância).

Exemplo 2

Uma relação linear também pode ser encontrada na equação distância = taxa x tempo. Como a distância é um número positivo (na maioria dos casos), essa relação linear seria expressa no quadrante superior direito de um gráfico com eixos X e Y.

Se uma bicicleta feita para dois estiver viajando a uma velocidade de 30 milhas por hora durante 20 horas, o ciclista acabará viajando 600 milhas. Representada graficamente com a distância no eixo Y e o tempo no eixo X, uma linha rastreando a distância ao longo dessas 20 horas viajaria diretamente da convergência dos eixos X e Y.

Exemplo 3

Para converter Celsius em Fahrenheit, ou Fahrenheit em Celsius, você usaria as equações abaixo. Essas equações expressam uma relação linear em um gráfico:

$\grau C = \frac{5}{9}(\grau F - 32)$

$\grau F = \frac{9}{5}\grau C + 32$

Exemplo 4

Suponha que a variável independente seja o tamanho de uma casa (medida pela metragem quadrada) que determina o preço de mercado de uma casa (a variável dependente) quando é multiplicado pelo coeficiente de inclinação de 207,65 e então adicionado ao termo constante $ 10.500 . Se a metragem quadrada de uma casa for 1.250, então o valor de mercado da casa é (1.250 x 207,65) + $ 10.500 = $ 270.062,50. Graficamente e matematicamente, aparece da seguinte forma:

Neste exemplo, à medida que o tamanho da casa aumenta, o valor de mercado da casa aumenta de forma linear.

Algumas relações lineares entre dois objetos podem ser chamadas de "relação proporcional". Essa relação aparece como

$\begin &Y = k \times X \ &amp ;\textbf\ &k=\text\ &Y, X=\text\ \end$

Ao analisar dados comportamentais, raramente há uma relação linear perfeita entre as variáveis. No entanto, linhas de tendência podem ser encontradas em dados que formam uma versão aproximada de uma relação linear. Por exemplo, você pode observar as vendas diárias de sorvete e a alta temperatura diária como as duas variáveis em jogo em um gráfico e encontrar uma relação linear grosseira entre as duas.

Destaques

As relações lineares podem ser expressas em formato gráfico ou como uma equação matemática da forma y = mx + b.
As relações lineares são bastante comuns na vida diária.
Uma relação linear (ou associação linear) é um termo estatístico usado para descrever uma relação linear entre duas variáveis.