Bedingte Wahrscheinlichkeit
Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis oder Ergebnis eintritt, basierend auf dem Eintreten eines früheren Ereignisses oder Ergebnisses. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit des vorhergehenden Ereignisses mit der aktualisierten Wahrscheinlichkeit des nachfolgenden oder bedingten Ereignisses multipliziert wird.
Zum Beispiel:
Ereignis A ist, dass eine Person, die sich für das College bewirbt, akzeptiert wird. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 80 %, dass diese Person zum College angenommen wird.
Ereignis B ist, dass dieser Person ein Wohnheim zugewiesen wird. Wohnheimplätze werden nur für 60 % aller zugelassenen Studenten bereitgestellt.
P (Akzeptiert und Wohnheim) = P (Wohnheim | Akzeptiert) P (Akzeptiert) = (0,60)*(0,80) = 0,48.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit würde diese beiden Ereignisse in Beziehung zueinander setzen, wie z. B. die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beide zum College zugelassen werden und ** Ihnen ein Wohnheim zur Verfügung gestellt wird.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann der unbedingten Wahrscheinlichkeit gegenübergestellt werden. Unbedingte Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, unabhängig davon, ob andere Ereignisse stattgefunden haben oder andere Bedingungen vorliegen.
Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen
Wie bereits erwähnt, hängen bedingte Wahrscheinlichkeiten von einem früheren Ergebnis ab. Es macht auch eine Reihe von Annahmen. Angenommen, Sie ziehen drei Murmeln – rot, blau und grün – aus einer Tüte. Jede Murmel hat die gleiche Chance, gezogen zu werden. Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, die rote Murmel zu ziehen, nachdem bereits die blaue gezogen wurde?
Erstens beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Murmel zu ziehen, etwa 33 %, da dies ein mögliches Ergebnis von drei ist. Unter der Annahme, dass dieses erste Ereignis eintritt, bleiben zwei Murmeln übrig, von denen jede eine 50-prozentige Chance hat, gezogen zu werden. Die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Murmel zu ziehen, nachdem bereits eine rote Murmel gezogen wurde, läge also bei etwa 16,5 % (33 % x 50 %).
Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird in einer Vielzahl von Bereichen wie Versicherungen,. Politik und vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik verwendet.
Stellen Sie sich als weiteres Beispiel, um weitere Einblicke in dieses Konzept zu geben, vor, dass ein fairer Würfel geworfen wurde und Sie gebeten werden, die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass es eine Fünf war. Es gibt sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse, also ist Ihre Antwort 1/6.
Aber stellen Sie sich vor, Sie erhalten vor Ihrer Antwort zusätzliche Informationen, dass die gewürfelte Zahl ungerade war. Da nur drei ungerade Zahlen möglich sind, von denen eine fünf ist, würden Sie Ihre Schätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf gewürfelt wurde, sicherlich von 1/6 auf 1/3 revidieren.
Diese revidierte Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eingetreten ist, unter Berücksichtigung der zusätzlichen Information, dass ein anderes Ereignis B bei dieser Versuchsdurchführung definitiv eingetreten ist, wird als bedingte Wahrscheinlichkeit von bezeichnet. A gegeben B und wird mit P(A|B) bezeichnet.
Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel
P(B|A) = P(A und B) / P(A)
Oder:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Wo
P = Wahrscheinlichkeit
A = Ereignis A
B = Ereignis B
Ein weiteres Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit
Nehmen wir als weiteres Beispiel an, ein Student bewirbt sich um die Zulassung an einer Universität und hofft auf ein akademisches Stipendium. Die Schule, an der sie sich bewerben, akzeptiert 100 von 1.000 Bewerbern (10 %) und vergibt akademische Stipendien an 10 von 500 zugelassenen Studenten (2 %).
50 % der Stipendiatinnen und Stipendiaten erhalten zusätzlich Hochschulstipendien für Bücher, Verpflegung und Unterkunft. Für die Studierenden beträgt die Wahrscheinlichkeit, angenommen zu werden und dann ein Stipendium zu erhalten, 0,2 % (0,1 x 0,02). Die Chance, angenommen zu werden, das Stipendium zu erhalten, dann auch ein Stipendium für Bücher etc. zu bekommen, liegt bei 0,1 % (0,1 x 0,02 x 0,5).
Bedingte Wahrscheinlichkeit vs. gemeinsame Wahrscheinlichkeit und marginale Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeit: p(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, vorausgesetzt, dass Ereignis B eintritt. Angenommen, Sie haben zum Beispiel eine rote Karte gezogen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Vier ist (p(vier|rot))=2/26=1/13. Von den 26 roten Karten (bei einer roten Karte) gibt es also zwei Vieren, also 2/26=1/13.
Grenzwahrscheinlichkeit: die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses (p(A)), sie kann als unbedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden. Es ist nicht von einem anderen Ereignis abhängig. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Karte rot ist (p(rot) = 0,5). Ein weiteres Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Karte eine 4 ist (p(vier)=1/13).
Gemeinsame Wahrscheinlichkeit : p(A und B). Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A ** und ** Ereignis B eintritt. Es ist die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von zwei oder mehr Ereignissen. Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von A und B kann p(A ∩ B) geschrieben werden. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte eine Vier und Rot ist =p(Vier und Rot) = 2/52=1/26. (Es gibt zwei rote Vieren in einem Kartenspiel mit 52 Karten, die Herz-4 und die Karo-4).
Satz von Bayes
Der Satz von Bayes,. benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Das Theorem bietet eine Möglichkeit, bestehende Vorhersagen oder Theorien (Aktualisierungswahrscheinlichkeiten) zu revidieren, wenn neue oder zusätzliche Beweise vorliegen. Im Finanzbereich kann der Satz von Bayes verwendet werden, um das Risiko einer Geldverleihung an potenzielle Kreditnehmer einzuschätzen.
Das Theorem von Bayes ist für maschinelles Lernen gut geeignet und weit verbreitet.
Der Satz von Bayes wird auch Bayessche Regel oder Bayessches Gesetz genannt und ist die Grundlage des Gebiets der Bayesschen Statistik. Dieser Satz von Wahrscheinlichkeitsregeln ermöglicht es einem, seine Vorhersagen von eintretenden Ereignissen auf der Grundlage neuer erhaltener Informationen zu aktualisieren, was zu besseren und dynamischeren Schätzungen führt.
Das Endergebnis
Die bedingte Wahrscheinlichkeit untersucht die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, basierend auf der Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhergehendes Ereignis eintritt. Das zweite Ereignis ist abhängig vom ersten Ereignis. Sie wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses multipliziert wird.
Höhepunkte
Der Satz von Bayes ist eine mathematische Formel, die zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit verwendet wird.
Sie wird oft als Wahrscheinlichkeit von B bei gegebenem A angegeben und als P(B|A) geschrieben, wobei die Wahrscheinlichkeit von B von der von A abhängt.
Wahrscheinlichkeiten werden entweder als bedingt, marginal oder gemeinsam klassifiziert.
Bedingte Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis eintritt, wenn auch ein anderes Ereignis eingetreten ist.
Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann der unbedingten Wahrscheinlichkeit gegenübergestellt werden.
FAQ
Was ist zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit?
Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit versucht, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der zwei unabhängige Ereignisse eintreten. Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit multipliziert die Wahrscheinlichkeit des ersten Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses. Das häufigste Beispiel ist das einer zweimal geworfenen Münze und die Bestimmung, ob das zweite Ergebnis gleich oder anders als das erste sein wird.
Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit des vorhergehenden Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit des nachfolgenden oder bedingten Ereignisses multipliziert wird. Die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, basierend auf der Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhergehendes Ereignis eintritt.
Was ist ein bedingter Wahrscheinlichkeitsrechner?
Ein Rechner für bedingte Wahrscheinlichkeiten ist ein Online-Tool, das die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnet. Es liefert die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des ersten und des zweiten Ereignisses. Ein bedingter Wahrscheinlichkeitsrechner erspart dem Benutzer die manuelle Mathematik.
Was ist die vorherige Wahrscheinlichkeit?
Die vorherige Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, bevor irgendwelche Daten gesammelt wurden, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Es ist die Wahrscheinlichkeit, wie sie durch eine vorherige Überzeugung bestimmt wird. Die vorherige Wahrscheinlichkeit ist eine Komponente der bayesschen statistischen Inferenz.
Was ist der Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und bedingter Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit betrachtet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet zwei Ereignisse, die in Relation zueinander auftreten. Es betrachtet die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Ereignis eintritt, basierend auf der Wahrscheinlichkeit, dass das erste Ereignis eintritt.
