Zufällige Variable

Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert unbekannt ist, oder eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Experiments Werte zuweist. Zufallsvariablen werden oft mit Buchstaben bezeichnet und können als diskret klassifiziert werden,. das sind Variablen, die bestimmte Werte haben, oder kontinuierlich, das sind Variablen, die beliebige Werte innerhalb eines kontinuierlichen Bereichs haben können.

Zufallsvariablen werden häufig in der ökonometrischen oder Regressionsanalyse verwendet, um statistische Zusammenhänge untereinander zu ermitteln.

Eine Zufallsvariable verstehen

In Wahrscheinlichkeit und Statistik werden Zufallsvariablen verwendet, um die Ergebnisse eines zufälligen Ereignisses zu quantifizieren, und können daher viele Werte annehmen. Zufallsvariablen müssen messbar sein und sind typischerweise reelle Zahlen. Beispielsweise kann der Buchstabe X so bezeichnet werden, dass er die Summe der sich ergebenden Zahlen darstellt, nachdem drei Würfel geworfen wurden. In diesem Fall könnte X 3 (1 + 1 + 1), 18 (6 + 6 + 6) oder irgendwo zwischen 3 und 18 sein, da die höchste Zahl eines Würfels 6 und die niedrigste Zahl 1 ist.

Eine Zufallsvariable unterscheidet sich von einer algebraischen Variablen. Die Variable in einer algebraischen Gleichung ist ein unbekannter Wert, der berechnet werden kann. Die Gleichung 10 + x = 13 zeigt, dass wir den spezifischen Wert für x berechnen können, der 3 ist. Andererseits hat eine Zufallsvariable eine Reihe von Werten, und jeder dieser Werte könnte das resultierende Ergebnis sein, wie im Beispiel zu sehen ist der Würfel oben.

Rendite nach einer bestimmten Anzahl von Jahren, der geschätzten Fluktuationsrate in einem Unternehmen innerhalb der folgenden sechs Monate, Zufallsvariablen zugeordnet werden , usw. Risikoanalysten ordnen Risikomodellen Zufallsvariablen zu, wenn sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines unerwünschten Ereignisses abschätzen wollen. Diese Variablen werden mithilfe von Tools wie Szenario- und Sensitivitätsanalysetabellen dargestellt, die Risikomanager verwenden, um Entscheidungen zur Risikominderung zu treffen.

Arten von Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable kann entweder diskret oder kontinuierlich sein. Diskrete Zufallsvariablen nehmen eine abzählbare Anzahl unterschiedlicher Werte an. Stellen Sie sich ein Experiment vor, bei dem eine Münze dreimal geworfen wird. Stellt X dar, wie oft die Münze Kopf zeigt, dann ist X eine diskrete Zufallsvariable, die nur die Werte 0, 1, 2, 3 annehmen kann (von kein Kopf bei drei aufeinanderfolgenden Münzwürfen bis zu allen Kopf). Für X ist kein anderer Wert möglich.

Kontinuierliche Zufallsvariablen können jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs oder Intervalls darstellen und eine unendliche Anzahl möglicher Werte annehmen. Ein Beispiel für eine kontinuierliche Zufallsvariable wäre ein Experiment, bei dem die Niederschlagsmenge in einer Stadt über ein Jahr oder die durchschnittliche Körpergröße einer zufälligen Gruppe von 25 Personen gemessen wird.

Wenn Y die Zufallsvariable für die durchschnittliche Größe einer zufälligen Gruppe von 25 Personen darstellt, werden Sie feststellen, dass das resultierende Ergebnis eine kontinuierliche Zahl ist, da die Größe 5 Fuß oder 5,01 Fuß oder 5,0001 Fuß betragen kann. Klar, da ist eine unendliche Anzahl möglicher Werte für die Höhe.

Eine Zufallsvariable hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung,. die die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass einer der möglichen Werte eintritt. Nehmen wir an, die Zufallsvariable Z ist die Zahl auf der Oberseite eines Würfels, wenn er einmal geworfen wird. Die möglichen Werte für Z sind somit 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte beträgt 1/6, da sie alle gleich wahrscheinlich der Wert von Z sind.

Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder P (Z=3) zu bekommen, wenn ein Würfel geworfen wird, 1/6, ebenso die Wahrscheinlichkeit, eine 4 oder eine 2 oder irgendeine andere Zahl auf allen sechs Seiten von a zu haben sterben. Beachten Sie, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist.

Beispiel einer Zufallsvariablen

Ein typisches Beispiel für eine Zufallsvariable ist das Ergebnis eines Münzwurfs. Stellen Sie sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vor, bei der die Ergebnisse eines zufälligen Ereignisses nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Wenn die Zufallsvariable Y die Anzahl der Köpfe ist, die wir beim Werfen von zwei Münzen erhalten, dann könnte Y 0, 1 oder 2 sein. Das bedeutet, dass wir bei einem Wurf mit zwei Münzen kein Kopf, einen Kopf oder beide Köpfe haben können.

Die beiden Münzen landen jedoch auf vier verschiedene Arten: TT, HT, TH und HH. Daher ist P(Y=0) = 1/4, da wir eine Chance haben, kein Kopf zu bekommen (dh zwei Zahlen [TT], wenn die Münzen geworfen werden). Ebenso beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe (HH) zu bekommen, ebenfalls 1/4. Beachten Sie, dass es wahrscheinlich ist, dass ein Kopf zweimal auftritt: bei HT und TH. In diesem Fall ist P (Y=1) = 2/4 = 1/2.

Höhepunkte

• Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert unbekannt ist, oder eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Experiments Werte zuweist.

• Eine Zufallsvariable kann entweder diskret (mit bestimmten Werten) oder kontinuierlich (jeder Wert in einem kontinuierlichen Bereich) sein.

• Risikoanalysten verwenden Zufallsvariablen, um die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines unerwünschten Ereignisses abzuschätzen.

• Die Verwendung von Zufallsvariablen ist am häufigsten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, wo sie verwendet werden, um die Ergebnisse zufälliger Ereignisse zu quantifizieren.

FAQ

Was ist eine kontinuierliche Zufallsvariable?

Eine kontinuierliche Zufallsvariable steht für einen beliebigen Betrag innerhalb eines bestimmten Bereichs oder einer bestimmten Punktmenge und kann eine unendliche Anzahl potenzieller Werte widerspiegeln, z. B. den durchschnittlichen Niederschlag in einer Region.

Was ist eine diskrete Zufallsvariable?

Eine diskrete Zufallsvariable ist eine Art von Zufallsvariable, der eine zählbare Anzahl unterschiedlicher Werte zugewiesen werden kann, z. B. bei einem Münzwurf.

Was ist eine gemischte Zufallsvariable?

Eine gemischte Zufallsvariable kombiniert Elemente sowohl diskreter als auch kontinuierlicher Zufallsvariablen.