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랜덤 변수

랜덤 변수

๋žœ๋ค ๋ณ€์ˆ˜๋ž€ ๋ฌด์—‡์ž…๋‹ˆ๊นŒ?

ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ๊ฐ’์„ ์•Œ ์ˆ˜ ์—†๋Š” ๋ณ€์ˆ˜ ๋˜๋Š” ๊ฐ ์‹คํ—˜ ๊ฒฐ๊ณผ์— ๊ฐ’์„ ํ• ๋‹นํ•˜๋Š” ํ•จ์ˆ˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ข…์ข… ๋ฌธ์ž๋กœ ์ง€์ •๋˜๋ฉฐ ํŠน์ • ๊ฐ’์„ ๊ฐ–๋Š” ๋ณ€์ˆ˜์ธ ์ด์‚ฐ ํ˜• ๋˜๋Š” ์—ฐ์†ํ˜• ๋ฒ”์œ„ ๋‚ด์—์„œ ์ž„์˜์˜ ๊ฐ’์„ ๊ฐ€์งˆ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๋ณ€์ˆ˜์ธ ์—ฐ์†ํ˜•์œผ๋กœ ๋ถ„๋ฅ˜ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ข…์ข… ๊ณ„๋Ÿ‰ ๊ฒฝ์ œํ•™ ๋˜๋Š” ํšŒ๊ท€ ๋ถ„์„์—์„œ ์„œ๋กœ ๊ฐ„์˜ ํ†ต๊ณ„์  ๊ด€๊ณ„๋ฅผ ๊ฒฐ์ •ํ•˜๋Š” ๋ฐ ์‚ฌ์šฉ๋ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

๋žœ๋ค ๋ณ€์ˆ˜ ์ดํ•ดํ•˜๊ธฐ

ํ™•๋ฅ  ๋ฐ ํ†ต๊ณ„ ์—์„œ ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ๋ฌด์ž‘์œ„ ๋ฐœ์ƒ์˜ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์ˆ˜๋Ÿ‰ํ™”ํ•˜๋Š” ๋ฐ ์‚ฌ์šฉ๋˜๋ฏ€๋กœ ๋งŽ์€ ๊ฐ’์„ ๊ฐ€์งˆ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ธก์ • ๊ฐ€๋Šฅํ•ด์•ผ ํ•˜๋ฉฐ ์ผ๋ฐ˜์ ์œผ๋กœ ์‹ค์ˆ˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ์˜ˆ๋ฅผ ๋“ค์–ด, ๋ฌธ์ž X๋Š” ์„ธ ๊ฐœ์˜ ์ฃผ์‚ฌ์œ„๋ฅผ ๋˜์ง„ ํ›„ ๊ฒฐ๊ณผ ์ˆซ์ž์˜ ํ•ฉ์„ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๋„๋ก ์ง€์ •๋  ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ด ๊ฒฝ์šฐ X๋Š” 3(1 + 1+ 1), 18(6 + 6 + 6), ๋˜๋Š” 3์—์„œ 18 ์‚ฌ์ด์ผ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ฃผ์‚ฌ์œ„์˜ ๊ฐ€์žฅ ๋†’์€ ์ˆ˜๋Š” 6์ด๊ณ  ๊ฐ€์žฅ ๋‚ฎ์€ ์ˆ˜๋Š” 1์ด๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ๋Œ€์ˆ˜ ๋ณ€์ˆ˜์™€ ๋‹ค๋ฆ…๋‹ˆ๋‹ค. ๋Œ€์ˆ˜ ๋ฐฉ์ •์‹์˜ ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ๊ณ„์‚ฐํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๋ฏธ์ง€์˜ ๊ฐ’์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ๋ฐฉ์ •์‹ 10 + x = 13์€ x์— ๋Œ€ํ•œ ํŠน์ • ๊ฐ’์ธ 3์„ ๊ณ„์‚ฐํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์Œ์„ ๋ณด์—ฌ์ค๋‹ˆ๋‹ค. ๋ฐ˜๋ฉด์— ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜์—๋Š” ๊ฐ’ ์ง‘ํ•ฉ์ด ์žˆ์œผ๋ฉฐ ์ด๋Ÿฌํ•œ ๊ฐ’ ์ค‘ ํ•˜๋‚˜๊ฐ€ ์˜ˆ์ œ์—์„œ ๋ณผ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๊ฒฐ๊ณผ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ€ ๋  ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์œ„์˜ ์ฃผ์‚ฌ์œ„.

๊ธฐ์—… ์„ธ๊ณ„์—์„œ๋Š” ์ฃผ์–ด์ง„ ๊ธฐ๊ฐ„ ๋™์•ˆ ์ž์‚ฐ์˜ ํ‰๊ท  ๊ฐ€๊ฒฉ, ์ง€์ •๋œ ๋…„ ํ›„ ํˆฌ์ž ์ˆ˜์ต๋ฅ ,. ๋‹ค์Œ 6๊ฐœ์›” ์ด๋‚ด์— ํšŒ์‚ฌ์˜ ์˜ˆ์ƒ ํšŒ์ „์œจ, ๋“ฑ. ์œ„ํ—˜ ๋ถ„์„๊ฐ€๋Š” ๋ถ€์ž‘์šฉ์ด ๋ฐœ์ƒํ•  ํ™•๋ฅ ์„ ์ถ”์ •ํ•˜๊ณ ์ž ํ•  ๋•Œ ์œ„ํ—˜ ๋ชจ๋ธ์— ๋ฌด์ž‘์œ„ ๋ณ€์ˆ˜๋ฅผ ํ• ๋‹นํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค. ์ด๋Ÿฌํ•œ ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์œ„ํ—˜ ๊ด€๋ฆฌ์ž๊ฐ€ ์œ„ํ—˜ ์™„ํ™”์— ๊ด€ํ•œ ๊ฒฐ์ •์„ ๋‚ด๋ฆฌ๋Š” ๋ฐ ์‚ฌ์šฉํ•˜๋Š” ์‹œ๋‚˜๋ฆฌ์˜ค ๋ฐ ๋ฏผ๊ฐ๋„ ๋ถ„์„ ํ‘œ ์™€ ๊ฐ™์€ ๋„๊ตฌ๋ฅผ ์‚ฌ์šฉํ•˜์—ฌ ํ‘œ์‹œ๋ฉ๋‹ˆ๋‹ค .

๋žœ๋ค ๋ณ€์ˆ˜์˜ ์œ ํ˜•

ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ด์‚ฐ์ ์ด๊ฑฐ๋‚˜ ์—ฐ์†์ ์ผ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ด์‚ฐ ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์…€ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ์ˆ˜์˜ ๊ณ ์œ ํ•œ ๊ฐ’์„ ์ทจํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค. ๋™์ „์„ ์„ธ ๋ฒˆ ๋˜์ง„ ์‹คํ—˜์„ ์ƒ๊ฐํ•ด ๋ณด์‹ญ์‹œ์˜ค. X๊ฐ€ ๋™์ „ ์•ž๋ฉด์ด ๋‚˜์˜ค๋Š” ํšŸ์ˆ˜๋ฅผ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๋Š” ๊ฒฝ์šฐ X๋Š” 0, 1, 2, 3 ๊ฐ’๋งŒ ๊ฐ€์งˆ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ์ด์‚ฐ ๋žœ๋ค ๋ณ€์ˆ˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค(3๋ฒˆ์˜ ์—ฐ์† ๋™์ „ ๋˜์ง€๊ธฐ์—์„œ ์•ž๋ฉด์ด ์—†๋Š” ๊ฒƒ๋ถ€ํ„ฐ ๋ชจ๋“  ์•ž๋ฉด๊นŒ์ง€). X์—๋Š” ๋‹ค๋ฅธ ๊ฐ’์ด ๋ถˆ๊ฐ€๋Šฅํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

์—ฐ์† ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ง€์ •๋œ ๋ฒ”์œ„ ๋˜๋Š” ๊ฐ„๊ฒฉ ๋‚ด์˜ ๋ชจ๋“  ๊ฐ’์„ ๋‚˜ํƒ€๋‚ผ ์ˆ˜ ์žˆ์œผ๋ฉฐ ๋ฌดํ•œํ•œ ์ˆ˜์˜ ๊ฐ€๋Šฅํ•œ ๊ฐ’์„ ๊ฐ€์งˆ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์—ฐ์† ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜์˜ ์˜ˆ๋กœ๋Š” 1๋…„ ๋™์•ˆ ๋„์‹œ์˜ ๊ฐ•์šฐ๋Ÿ‰ ๋˜๋Š” 25๋ช…์˜ ๋ฌด์ž‘์œ„ ๊ทธ๋ฃน์˜ ํ‰๊ท  ํ‚ค๋ฅผ ์ธก์ •ํ•˜๋Š” ์‹คํ—˜์ด ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

ํ›„์ž์˜ ๊ฒฝ์šฐ Y๊ฐ€ 25๋ช…์˜ ๋ฌด์ž‘์œ„ ๊ทธ๋ฃน์˜ ํ‰๊ท  ํ‚ค์— ๋Œ€ํ•œ ๋ฌด์ž‘์œ„ ๋ณ€์ˆ˜๋ฅผ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๋Š” ๊ฒฝ์šฐ ํ‚ค๊ฐ€ 5ํ”ผํŠธ ๋˜๋Š” 5.01ํ”ผํŠธ ๋˜๋Š” 5.0001ํ”ผํŠธ์ผ ์ˆ˜ ์žˆ์œผ๋ฏ€๋กœ ๊ฒฐ๊ณผ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ€ ์—ฐ์†์ ์ธ ์ˆ˜์น˜์ž„์„ ์•Œ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ๋†’์ด์— ๋Œ€ํ•ด ๊ฐ€๋Šฅํ•œ ๊ฐ’์˜ ๋ฌดํ•œ ์ˆ˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜์—๋Š” ๊ฐ€๋Šฅํ•œ ๊ฐ’์ด ๋ฐœ์ƒํ•  ๊ฐ€๋Šฅ์„ฑ์„ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๋Š” ํ™•๋ฅ  ๋ถ„ํฌ ๊ฐ€ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜ Z๊ฐ€ ํ•œ ๋ฒˆ ๋˜์กŒ์„ ๋•Œ ์ฃผ์‚ฌ์œ„์˜ ์œ—๋ฉด์— ์žˆ๋Š” ์ˆซ์ž๋ผ๊ณ  ๊ฐ€์ •ํ•ด ๋ณด๊ฒ ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ๋”ฐ๋ผ์„œ Z์— ๋Œ€ํ•œ ๊ฐ€๋Šฅํ•œ ๊ฐ’์€ 1, 2, 3, 4, 5 ๋ฐ 6์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ์ด๋Ÿฌํ•œ ๊ฐ’ ๊ฐ๊ฐ์˜ ํ™•๋ฅ ์€ ๋ชจ๋‘ Z ๊ฐ’์ผ ๊ฐ€๋Šฅ์„ฑ์ด ๋™์ผํ•˜๋ฏ€๋กœ 1/6์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

์˜ˆ๋ฅผ ๋“ค์–ด, ์ฃผ์‚ฌ์œ„๋ฅผ ๋˜์งˆ ๋•Œ 3 ๋˜๋Š” P(Z=3)๊ฐ€ ๋‚˜์˜ฌ ํ™•๋ฅ ์€ 1/6์ด๊ณ , ์ฃผ์‚ฌ์œ„์˜ 6๋ฉด ๋ชจ๋‘์— 4๋‚˜ 2 ๋˜๋Š” ๋‹ค๋ฅธ ์ˆซ์ž๊ฐ€ ๋‚˜์˜ฌ ํ™•๋ฅ ๋„ 1/6์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ์ฃผ์‚ฌ์œ„. ๋ชจ๋“  ํ™•๋ฅ ์˜ ํ•ฉ์€ 1์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

๋žœ๋ค ๋ณ€์ˆ˜์˜ ์˜ˆ

ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜์˜ ์ „ํ˜•์ ์ธ ์˜ˆ๋Š” ๋™์ „ ๋˜์ง€๊ธฐ์˜ ๊ฒฐ๊ณผ์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ๋ฌด์ž‘์œ„ ์ด๋ฒคํŠธ์˜ ๊ฒฐ๊ณผ๊ฐ€ ๋ฐœ์ƒํ•  ๊ฐ€๋Šฅ์„ฑ์ด ๋™์ผํ•˜์ง€ ์•Š์€ ํ™•๋ฅ  ๋ถ„ํฌ๋ฅผ ๊ณ ๋ คํ•˜์‹ญ์‹œ์˜ค. ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜ Y๊ฐ€ ๋‘ ๊ฐœ์˜ ๋™์ „์„ ๋˜์งˆ ๋•Œ ์–ป์€ ์•ž๋ฉด์˜ ์ˆ˜๋ผ๋ฉด Y๋Š” 0, 1 ๋˜๋Š” 2๊ฐ€ ๋  ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ด๊ฒƒ์€ ๋‘ ๊ฐœ์˜ ๋™์ „ ๋˜์ง€๊ธฐ์—์„œ ์•ž๋ฉด์ด ์—†๊ฑฐ๋‚˜, ์•ž๋ฉด์ด ํ•˜๋‚˜ ๋˜๋Š” ๋‘ ๊ฐœ ๋ชจ๋‘ ๋‚˜์˜ฌ ์ˆ˜ ์žˆ์Œ์„ ์˜๋ฏธํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

๊ทธ๋Ÿฌ๋‚˜ ๋‘ ๊ฐœ์˜ ๋™์ „์€ TT, HT, TH ๋ฐ HH์˜ ๋„ค ๊ฐ€์ง€ ๋‹ค๋ฅธ ๋ฐฉ์‹์œผ๋กœ ์ฐฉ๋ฅ™ํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค. ๋”ฐ๋ผ์„œ P(Y=0) = 1/4์ธ๋ฐ ์•ž๋ฉด์ด ๋‚˜์˜ค์ง€ ์•Š์„ ํ™•๋ฅ ์ด ํ•œ ๋ฒˆ ์žˆ๊ธฐ ๋•Œ๋ฌธ์ž…๋‹ˆ๋‹ค(์ฆ‰, ๋™์ „์„ ๋˜์กŒ์„ ๋•Œ ๋‘ ๊ฐœ์˜ ๋’ท๋ฉด[TT]). ๋งˆ์ฐฌ๊ฐ€์ง€๋กœ ์•ž๋ฉด์ด ๋‘ ๊ฐœ ๋‚˜์˜ฌ ํ™•๋ฅ (HH)๋„ 1/4์ž…๋‹ˆ๋‹ค. ํ—ค๋“œ ํ•˜๋‚˜๋ฅผ ์–ป๋Š” ๊ฒƒ์€ HT์™€ TH์—์„œ ๋‘ ๋ฒˆ ๋ฐœ์ƒํ•  ๊ฐ€๋Šฅ์„ฑ์ด ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. ์ด ๊ฒฝ์šฐ P(Y=1) = 2/4 = 1/2์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

ํ•˜์ด๋ผ์ดํŠธ

  • ํ™•๋ฅ ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ๊ฐ’์„ ์•Œ ์ˆ˜ ์—†๋Š” ๋ณ€์ˆ˜ ๋˜๋Š” ๊ฐ ์‹คํ—˜์˜ ๊ฒฐ๊ณผ์— ๊ฐ’์„ ํ• ๋‹นํ•˜๋Š” ํ•จ์ˆ˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

  • ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ด์‚ฐ(ํŠน์ • ๊ฐ’์„ ๊ฐ€์ง) ๋˜๋Š” ์—ฐ์†(์—ฐ์† ๋ฒ”์œ„์˜ ๋ชจ๋“  ๊ฐ’)์ผ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

  • ์œ„ํ—˜ ๋ถ„์„๊ฐ€๋Š” ๋ฌด์ž‘์œ„ ๋ณ€์ˆ˜๋ฅผ ์‚ฌ์šฉํ•˜์—ฌ ๋ถ€์ž‘์šฉ์ด ๋ฐœ์ƒํ•  ํ™•๋ฅ ์„ ์ถ”์ •ํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

  • ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜์˜ ์‚ฌ์šฉ์€ ํ™•๋ฅ  ๋ฐ ํ†ต๊ณ„์—์„œ ๊ฐ€์žฅ ์ผ๋ฐ˜์ ์ด๋ฉฐ, ์—ฌ๊ธฐ์„œ ๋ฌด์ž‘์œ„ ๋ฐœ์ƒ์˜ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์ˆ˜๋Ÿ‰ํ™”ํ•˜๋Š” ๋ฐ ์‚ฌ์šฉ๋ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

์ž์ฃผํ•˜๋Š” ์งˆ๋ฌธ

์—ฐ์† ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋ž€ ๋ฌด์—‡์ž…๋‹ˆ๊นŒ?

์—ฐ์† ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ํŠน์ • ๋ฒ”์œ„ ๋˜๋Š” ์  ์ง‘ํ•ฉ ๋‚ด์˜ ์–‘์„ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๋ฉฐ ํ•œ ์ง€์—ญ์˜ ํ‰๊ท  ๊ฐ•์šฐ๋Ÿ‰๊ณผ ๊ฐ™์€ ๋ฌดํ•œํ•œ ์ˆ˜์˜ ์ž ์žฌ์  ๊ฐ’์„ ๋ฐ˜์˜ํ•  ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

์ด์‚ฐ ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋ž€ ๋ฌด์—‡์ž…๋‹ˆ๊นŒ?

์ด์‚ฐ ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ๋™์ „ ๋˜์ง€๊ธฐ์™€ ๊ฐ™์ด ํ• ๋‹นํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๊ณ ์œ ํ•œ ๊ฐ’์˜ ์…€ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ์ˆ˜๋ฅผ ๊ฐ–๋Š” ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜ ์œ ํ˜•์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

ํ˜ผํ•ฉ ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋ž€ ๋ฌด์—‡์ž…๋‹ˆ๊นŒ?

ํ˜ผํ•ฉ ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜๋Š” ์ด์‚ฐ ๋ฐ ์—ฐ์† ํ™•๋ฅ  ๋ณ€์ˆ˜์˜ ์š”์†Œ๋ฅผ ๊ฒฐํ•ฉํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค.