Zmienna losowa
Co to jest zmienna losowa?
Zmienna losowa to zmienna, kt贸rej warto艣膰 jest nieznana, lub funkcja przypisuj膮ca warto艣ci do ka偶dego wyniku eksperymentu. Zmienne losowe s膮 cz臋sto oznaczane literami i mog膮 by膰 klasyfikowane jako dyskretne,. czyli zmienne, kt贸re maj膮 okre艣lone warto艣ci, lub ci膮g艂e, kt贸re mog膮 mie膰 dowolne warto艣ci w zakresie ci膮g艂ym.
Zmienne losowe s膮 cz臋sto u偶ywane w analizie ekonometrycznej lub regresji w celu okre艣lenia relacji statystycznych mi臋dzy sob膮.
Zrozumienie zmiennej losowej
W prawdopodobie艅stwie i statystyce zmienne losowe s艂u偶膮 do kwantyfikacji wynik贸w zdarzenia losowego, a zatem mog膮 przyjmowa膰 wiele warto艣ci. Zmienne losowe musz膮 by膰 mierzalne i zazwyczaj s膮 liczbami rzeczywistymi. Na przyk艂ad, litera X mo偶e by膰 wyznaczona do reprezentowania sumy liczb wynikowych po rzucie trzema kostkami. W tym przypadku X mo偶e wynosi膰 3 (1 + 1 + 1), 18 (6 + 6 + 6) lub gdzie艣 pomi臋dzy 3 a 18, poniewa偶 najwy偶sza liczba na kostce to 6, a najni偶sza to 1.
Zmienna losowa r贸偶ni si臋 od zmiennej algebraicznej. Zmienna w r贸wnaniu algebraicznym jest nieznan膮 warto艣ci膮, kt贸r膮 mo偶na obliczy膰. R贸wnanie 10 + x = 13 pokazuje, 偶e mo偶emy obliczy膰 konkretn膮 warto艣膰 dla x, kt贸ra wynosi 3. Z drugiej strony, zmienna losowa ma zestaw warto艣ci, a ka偶da z tych warto艣ci mo偶e by膰 wynikiem ko艅cowym, jak wida膰 na przyk艂adzie z ko艣ci powy偶ej.
W 艣wiecie korporacji zmienne losowe mo偶na przypisa膰 do w艂a艣ciwo艣ci, takich jak 艣rednia cena aktywa w danym okresie, zwrot z inwestycji po okre艣lonej liczbie lat, szacowana stopa rotacji firmy w ci膮gu kolejnych sze艣ciu miesi臋cy, itp. Analitycy ryzyka przypisuj膮 zmienne losowe do modeli ryzyka, gdy chc膮 oszacowa膰 prawdopodobie艅stwo wyst膮pienia zdarzenia niepo偶膮danego. Zmienne te s膮 prezentowane za pomoc膮 narz臋dzi, takich jak tabele scenariuszy i analizy wra偶liwo艣ci, kt贸re mened偶erowie ryzyka wykorzystuj膮 do podejmowania decyzji dotycz膮cych ograniczania ryzyka.
Rodzaje zmiennych losowych
Zmienna losowa mo偶e by膰 dyskretna lub ci膮g艂a. Dyskretne zmienne losowe przyjmuj膮 policzaln膮 liczb臋 odr臋bnych warto艣ci. Rozwa偶 eksperyment, w kt贸rym moneta jest rzucana trzy razy. Je艣li X oznacza, ile razy moneta wypad艂a or艂em, to X jest dyskretn膮 zmienn膮 losow膮, kt贸ra mo偶e mie膰 tylko warto艣ci 0, 1, 2, 3 (od braku or艂a w trzech kolejnych rzutach monet膮 do wszystkich or艂贸w). 呕adna inna warto艣膰 nie jest mo偶liwa dla X.
Ci膮g艂e zmienne losowe mog膮 reprezentowa膰 dowoln膮 warto艣膰 z okre艣lonego zakresu lub przedzia艂u i mog膮 przyjmowa膰 niesko艅czon膮 liczb臋 mo偶liwych warto艣ci. Przyk艂adem ci膮g艂ej zmiennej losowej mo偶e by膰 eksperyment polegaj膮cy na pomiarze ilo艣ci opad贸w w mie艣cie w ci膮gu roku lub 艣redniej wysoko艣ci losowej grupy 25 os贸b.
Opieraj膮c si臋 na tym ostatnim, je艣li Y reprezentuje zmienn膮 losow膮 dla 艣redniego wzrostu losowej grupy 25 os贸b, oka偶e si臋, 偶e wynik jest liczb膮 ci膮g艂膮, poniewa偶 wzrost mo偶e wynosi膰 5 st贸p lub 5,01 stopy lub 5000 st贸p. to niesko艅czona liczba mo偶liwych warto艣ci wysoko艣ci.
Zmienna losowa ma rozk艂ad prawdopodobie艅stwa,. kt贸ry reprezentuje prawdopodobie艅stwo wyst膮pienia dowolnej z mo偶liwych warto艣ci. Za艂贸偶my, 偶e zmienna losowa Z jest liczb膮 znajduj膮c膮 si臋 na g贸rnej 艣ciance ko艣ci, gdy zostanie ona rzucona raz. Mo偶liwymi warto艣ciami Z b臋d膮 zatem 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Prawdopodobie艅stwo ka偶dej z tych warto艣ci wynosi 1/6, poniewa偶 wszystkie s膮 jednakowo warto艣ciami Z.
Na przyk艂ad prawdopodobie艅stwo otrzymania 3 lub P (Z=3), gdy rzucona zostanie kostka, wynosi 1/6, podobnie jak prawdopodobie艅stwo uzyskania 4 lub 2 lub dowolnej innej liczby na wszystkich sze艣ciu 艣cianach umiera膰. Zauwa偶, 偶e suma wszystkich prawdopodobie艅stw wynosi 1.
Przyk艂ad zmiennej losowej
Typowym przyk艂adem zmiennej losowej jest wynik rzutu monet膮. Rozwa偶 rozk艂ad prawdopodobie艅stwa, w kt贸rym wyniki zdarzenia losowego nie s膮 jednakowo prawdopodobne. Je艣li zmienna losowa Y jest liczb膮 orze艂k贸w, kt贸re otrzymujemy po rzuceniu dwiema monetami, to Y mo偶e wynosi膰 0, 1 lub 2. Oznacza to, 偶e podczas rzutu dwiema monetami nie mo偶emy mie膰 orze艂, jednej lub obu orze艂.
Jednak dwie monety l膮duj膮 na cztery r贸偶ne sposoby: TT, HT, TH i HH. Dlatego P(Y=0) = 1/4, poniewa偶 mamy jedn膮 szans臋 na brak or艂a (tj. dwa reszki [TT] podczas rzucania monetami). Podobnie prawdopodobie艅stwo trafienia dw贸ch reszek (HH) r贸wnie偶 wynosi 1/4. Zauwa偶, 偶e zdobycie jednej g艂owy ma prawdopodobie艅stwo wyst膮pienia dwukrotnie: w HT i TH. W tym przypadku P (Y=1) = 2/4 = 1/2.
Przegl膮d najwa偶niejszych wydarze艅
Zmienna losowa to zmienna, kt贸rej warto艣膰 jest nieznana, lub funkcja przypisuj膮ca warto艣ci do ka偶dego wyniku eksperymentu.
Zmienna losowa mo偶e by膰 dyskretna (o okre艣lonych warto艣ciach) lub ci膮g艂a (dowolna warto艣膰 z zakresu ci膮g艂ego).
Analitycy ryzyka wykorzystuj膮 zmienne losowe do oszacowania prawdopodobie艅stwa wyst膮pienia zdarzenia niepo偶膮danego.
Wykorzystanie zmiennych losowych jest najbardziej powszechne w prawdopodobie艅stwie i statystyce, gdzie s膮 one wykorzystywane do kwantyfikacji wynik贸w zdarze艅 losowych.
FAQ
Co to jest ci膮g艂a zmienna losowa?
Ci膮g艂a zmienna losowa oznacza dowoln膮 ilo艣膰 w okre艣lonym zakresie lub zbiorze punkt贸w i mo偶e odzwierciedla膰 niesko艅czon膮 liczb臋 potencjalnych warto艣ci, takich jak 艣rednie opady w regionie.
Co to jest dyskretna zmienna losowa?
Dyskretna zmienna losowa to rodzaj zmiennej losowej, kt贸ra ma policzaln膮 liczb臋 odr臋bnych warto艣ci, kt贸re mo偶na do niej przypisa膰, na przyk艂ad podczas rzutu monet膮.
Co to jest mieszana zmienna losowa?
Mieszana zmienna losowa 艂膮czy elementy zar贸wno dyskretnych, jak i ci膮g艂ych zmiennych losowych.
