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Distribution binomiale

Distribution binomiale

Qu'est-ce que la distribution binomiale ?

La distribution binomiale est une distribution de probabilité qui résume la probabilité qu'une valeur prenne l'une des deux valeurs indépendantes sous un ensemble donné de paramètres ou d'hypothèses.

Les hypothèses sous-jacentes de la distribution binomiale sont qu'il n'y a qu'un seul résultat pour chaque essai, que chaque essai a la même probabilité de succès et que chaque essai est mutuellement exclusif ou indépendant l'un de l'autre.

Comprendre la distribution binomiale

La distribution binomiale est une distribution discrète commune utilisée dans les statistiques, par opposition à une distribution continue, telle que la distribution normale. En effet, la distribution binomiale ne compte que deux états, généralement représentés par 1 (pour un succès) ou 0 (pour un échec) compte tenu du nombre d'essais dans les données. La distribution binomiale représente donc la probabilité de x succès dans n essais, étant donné une probabilité de succès p pour chaque essai.

La distribution binomiale résume le nombre d'essais ou d'observations lorsque chaque essai a la même probabilité d'atteindre une valeur particulière. La distribution binomiale détermine la probabilité d'observer un nombre spécifié de résultats positifs dans un nombre spécifié d'essais.

La distribution binomiale est souvent utilisée dans les statistiques des sciences sociales comme élément de base pour les modèles de variables de résultats dichotomiques, comme si un républicain ou un démocrate gagnera une élection à venir ou si un individu mourra dans un délai spécifié, etc.

Analyse de la distribution binomiale

La valeur attendue, ou moyenne, d'une distribution binomiale, est calculée en multipliant le nombre d'essais (n) par la probabilité de succès (p), ou nx p.

Par exemple, la valeur attendue du nombre de t√™tes dans 100 essais de t√™te et de contes est de 50, ou (100 * 0,5). Un autre exemple courant de la distribution binomiale consiste √† estimer les chances de succ√®s d'un tireur de lancer franc au basket-ball o√Ļ 1 = un panier est r√©ussi et 0 = un rat√©.

La formule de distribution binomiale est calculée comme suit :

P~(x:n,p)~ = nCx xpx(1-p)nx

o√Ļ:

  • n est le nombre d'essais (occurrences)

  • X est le nombre d'essais r√©ussis

  • p est la probabilit√© de succ√®s dans un seul essai

  • nCx est la combinaison de n et x. Une combinaison est le nombre de fa√ßons de choisir un √©chantillon de x √©l√©ments dans un ensemble de n objets distincts o√Ļ l'ordre n'a pas d'importance et les remplacements ne sont pas autoris√©s. Notez que nCx=n!/(r!(n‚ąír)!), o√Ļ ! est factorielle (donc, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

La moyenne de la distribution binomiale est np et la variance de la distribution binomiale est np (1 ‚ąí p). Lorsque p = 0,5, la distribution est sym√©trique autour de la moyenne. Lorsque p > 0,5, la distribution est asym√©trique vers la gauche. Lorsque p < 0,5, la distribution est asym√©trique vers la droite.

La distribution binomiale est la somme d'une série de plusieurs essais de Bernoulli indépendants et identiquement distribués. Dans un essai de Bernoulli, l'expérience est dite aléatoire et ne peut avoir que deux résultats possibles : succès ou échec.

Par exemple, lancer une pi√®ce de monnaie est consid√©r√© comme un essai de Bernoulli ; chaque essai ne peut prendre qu'une des deux valeurs (pile ou pile), chaque succ√®s a la m√™me probabilit√© (la probabilit√© de retourner une t√™te est de 0,5) et les r√©sultats d'un essai n'influencent pas les r√©sultats d'un autre. La distribution de Bernoulli est un cas particulier de la distribution binomiale o√Ļ le nombre d'essais n = 1.

Exemple de distribution binomiale

La distribution binomiale est calculée en multipliant la probabilité de succès élevée à la puissance du nombre de succès et la probabilité d'échec élevée à la puissance de la différence entre le nombre de succès et le nombre d'essais. Ensuite, multipliez le produit par la combinaison entre le nombre d'essais et le nombre de succès.

Par exemple, supposons qu'un casino crée un nouveau jeu dans lequel les participants peuvent placer des paris sur le nombre de têtes ou de queues dans un nombre spécifié de lancers de pièces. Supposons qu'un participant veuille placer un pari de 10 $ sur le fait qu'il y aura exactement six têtes en 20 lancers de pièces. Le participant souhaite calculer la probabilité que cela se produise et, par conséquent, il utilise le calcul pour la distribution binomiale.

La probabilité a été calculée comme suit : (20 ! / (6 ! * (20 - 6) !)) * (0,50) ^ (6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). Par conséquent, la probabilité qu'exactement six faces se produisent dans 20 lancers de pièces est de 0,037, soit 3,7 %. La valeur attendue était de 10 têtes dans ce cas, donc le participant a fait un mauvais pari.

Points forts

  • La distribution binomiale est une distribution de probabilit√© qui r√©sume la probabilit√© qu'une valeur prenne l'une de deux valeurs ind√©pendantes sous un ensemble donn√© de param√®tres ou d'hypoth√®ses.

  • Les hypoth√®ses sous-jacentes de la distribution binomiale sont qu'il n'y a qu'un seul r√©sultat pour chaque essai, que chaque essai a la m√™me probabilit√© de succ√®s et que chaque essai est mutuellement exclusif ou ind√©pendant l'un de l'autre.

  • La distribution binomiale est une distribution discr√®te courante utilis√©e en statistique, par opposition √† une distribution continue, telle que la distribution normale.