Биномиальное распределение
Что такое биномиальное распределение?
Биномиальное распределение — это распределение вероятностей,. которое обобщает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.
Базовые предположения биномиального распределения заключаются в том, что существует только один результат для каждого испытания, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.
Понимание биномиального распределения
Биномиальное распределение — это обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение. Это связано с тем, что биномиальное распределение учитывает только два состояния, обычно представляемые как 1 (успех) или 0 (неудача) с учетом количества испытаний в данных. Таким образом, биномиальное распределение представляет собой вероятность x успехов в n испытаниях при заданной вероятности успеха p для каждого испытания.
Биномиальное распределение суммирует количество испытаний или наблюдений, когда каждое испытание имеет одинаковую вероятность достижения одного конкретного значения. Биномиальное распределение определяет вероятность наблюдения определенного количества успешных результатов в заданном количестве испытаний.
Биномиальное распределение часто используется в статистике социальных наук в качестве строительного блока для моделей дихотомических переменных результатов, например, победит ли республиканец или демократ на предстоящих выборах или умрет ли человек в течение определенного периода времени и т. д.
Анализ биномиального распределения
Ожидаемое значение или среднее значение биномиального распределения вычисляется путем умножения числа испытаний (n) на вероятность успеха (p) или n x p.
Например, ожидаемое значение количества голов в 100 испытаниях головы и сказок равно 50, или (100 * 0,5). Другим распространенным примером биномиального распределения является оценка шансов на успех игрока, выполняющего штрафной бросок в баскетболе, где 1 = попадание в корзину, а 0 = промах.
Формула биномиального распределения рассчитывается как:
P~(x:n,p)~ = nCx xpx(1-p)nx
куда:
n - количество испытаний (вхождений)
X - количество успешных испытаний
p - вероятность успеха в одном испытании
nCx представляет собой комбинацию n и x. Комбинация — это количество способов выбрать выборку из x элементов из набора n различных объектов, где порядок не имеет значения и замены не допускаются. Обратите внимание, что nCx=n!/(r!(n−r)!), где ! является факториальным (так, 4! = 4 х 3 х 2 х 1)
Среднее значение биномиального распределения равно np, а дисперсия биномиального распределения равна np (1 − p). При p = 0,5 распределение симметрично относительно среднего. При p > 0,5 распределение смещено влево. При p < 0,5 распределение смещено вправо.
Биномиальное распределение представляет собой сумму серии нескольких независимых и одинаково распределенных испытаний Бернулли. В испытании Бернулли говорят, что эксперимент является случайным и может иметь только два возможных исхода: успех или неудачу.
Например, подбрасывание монеты считается испытанием Бернулли; каждое испытание может принимать только одно из двух значений (орел или решка), каждый успех имеет одинаковую вероятность (вероятность выпадения орла равна 0,5), и результаты одного испытания не влияют на результаты другого. Распределение Бернулли — это частный случай биномиального распределения, при котором число испытаний n = 1.
Пример биномиального распределения
Биномиальное распределение рассчитывается путем умножения вероятности успеха, возведенной в степень числа успехов, и вероятности неудачи, возведенной в степень разности между количеством успехов и числом испытаний. Затем умножьте произведение на комбинацию количества попыток и количества успехов.
Например, предположим, что казино создало новую игру, в которой участники могут делать ставки на количество выпадений орла или решки при определенном количестве подбрасываний монеты. Предположим, участник хочет сделать ставку в размере 10 долларов на то, что при 20 подбрасываниях монеты выпадет ровно шесть решек. Участник хочет рассчитать вероятность этого события, и поэтому он использует расчет для биномиального распределения.
Вероятность рассчитывалась как: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). Следовательно, вероятность того, что при 20 подбрасываниях монеты выпадет ровно шесть решек, равна 0,037, или 3,7%. Математическое ожидание в этом случае равнялось 10 орлам, поэтому участник сделал неудачную ставку.
Особенности
Биномиальное распределение — это распределение вероятностей, которое обобщает вероятность того, что значение примет одно из двух независимых значений при заданном наборе параметров или предположений.
Основные предположения биномиального распределения состоят в том, что есть только один исход для каждого испытания, что каждое испытание имеет одинаковую вероятность успеха и что каждое испытание является взаимоисключающим или независимым друг от друга.
Биномиальное распределение — обычное дискретное распределение, используемое в статистике, в отличие от непрерывного распределения, такого как нормальное распределение.
