توزيع ثنائي
ما هو التوزيع ذي الحدين؟
التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي يلخص احتمالية أن تأخذ القيمة إحدى القيمتين المستقلتين ضمن مجموعة معينة من المعلمات أو الافتراضات.
الافتراضات الأساسية للتوزيع ذي الحدين هي أن هناك نتيجة واحدة فقط لكل تجربة ، وأن كل تجربة لها نفس احتمالية النجاح ، وأن كل تجربة متنافية أو مستقلة عن بعضها البعض.
فهم التوزيع ذي الحدين
التوزيع ذو الحدين هو توزيع منفصل شائع يستخدم في الإحصاء ، على عكس التوزيع المستمر ، مثل التوزيع الطبيعي. وذلك لأن التوزيع ذي الحدين يحسب حالتين فقط ، وعادة ما يتم تمثيلهما على أنهما 1 (للنجاح) أو 0 (للفشل) في ضوء عدد من التجارب في البيانات. وبالتالي يمثل التوزيع ذي الحدين احتمال نجاحات x في تجارب n ، مع الأخذ في الاعتبار احتمال النجاح p لكل تجربة.
يلخص التوزيع ذو الحدين عدد التجارب أو الملاحظات عندما يكون لكل تجربة نفس احتمالية تحقيق قيمة معينة. يحدد التوزيع ذو الحدين احتمالية ملاحظة عدد محدد من النتائج الناجحة في عدد محدد من التجارب.
غالبًا ما يتم استخدام التوزيع ذي الحدين في إحصاءات العلوم الاجتماعية كحجر بناء لنماذج متغيرات النتائج ثنائية التفرع ، مثل ما إذا كان الجمهوري أو الديمقراطي سيفوز في الانتخابات القادمة أو ما إذا كان الفرد سيموت خلال فترة زمنية محددة ، وما إلى ذلك.
تحليل التوزيع ذي الحدين
يتم حساب القيمة المتوقعة ، أو المتوسط ، للتوزيع ذي الحدين ، بضرب عدد المحاولات (n) باحتمال النجاح (p) ، أو nx p.
على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة لعدد الرؤوس في 100 تجربة للرأس والحكايات هي 50 ، أو (100 * 0.5). مثال آخر شائع للتوزيع ذي الحدين هو تقدير فرص نجاح رمية الرمية الحرة في كرة السلة حيث 1 = تم صنع سلة و 0 = خطأ.
يتم حساب معادلة التوزيع ذات الحدين على النحو التالي:
P ~ (x: n، p) ~ = ~ n ~ C ~ x ~ xp ^ x ^ (1-p) ^ nx ^
أين:
n هو عدد المحاولات (مرات الظهور)
X هو عدد المحاولات الناجحة
p هو احتمال النجاح في تجربة واحدة
nCx هو مزيج من n و x. التركيبة هي عدد الطرق لاختيار عينة من عناصر x من مجموعة n من الكائنات المميزة حيث الترتيب غير مهم ولا يُسمح بالبدائل. لاحظ أن nCx = n! / (r! (n − r)!) ، أين! عاملي (4! = 4 × 3 × 2 × 1)
متوسط التوزيع ذي الحدين هو np ، وتباين التوزيع ذي الحدين هو np (1 - p). عندما يكون p = 0.5 ، يكون التوزيع متماثلًا حول المتوسط. عندما تكون p> 0.5 ، يكون التوزيع منحرفًا جهة اليسار. عندما تكون p <0.5 ، يكون التوزيع منحرفًا جهة اليمين.
التوزيع ذو الحدين هو مجموع سلسلة من تجارب برنولي المتعددة المستقلة والمتشابهة الموزعة. في تجربة برنولي ، قيل أن التجربة عشوائية ولا يمكن أن يكون لها سوى نتيجتين محتملتين: النجاح أو الفشل.
على سبيل المثال ، يعتبر تقليب العملة المعدنية تجربة برنولي ؛ يمكن أن تأخذ كل تجربة واحدة فقط من قيمتين (رأس أو ذيول) ، ولكل نجاح نفس الاحتمال (احتمال قلب الرأس هو 0.5) ، ولا تؤثر نتائج تجربة واحدة على نتائج أخرى. توزيع برنولي هو حالة خاصة للتوزيع ذي الحدين حيث عدد المحاولات n = 1.
مثال على التوزيع ذي الحدين
يتم حساب التوزيع ذي الحدين بضرب احتمالية النجاح المرفوعة إلى قوة عدد النجاحات واحتمالية الفشل مرفوعة إلى قوة الاختلاف بين عدد النجاحات وعدد المحاولات. بعد ذلك ، اضرب المنتج في الجمع بين عدد المحاولات وعدد مرات النجاح.
على سبيل المثال ، افترض أن كازينو أنشأ لعبة جديدة يستطيع المشاركون فيها المراهنة على عدد الرؤوس أو الذيل في عدد محدد من تقلبات العملات. افترض أن أحد المشاركين يريد وضع رهان بقيمة 10 دولارات على أنه سيكون هناك ستة رؤوس بالضبط في 20 تقليبًا للعملة. يريد المشارك حساب احتمالية حدوث ذلك ، وبالتالي يستخدم الحساب للتوزيع ذي الحدين.
تم حساب الاحتمال على النحو التالي: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0.50) ^ (6) * (1 - 0.50) ^ (20 - 6). وبالتالي ، فإن احتمال حدوث ستة رؤوس بالضبط في 20 تقليبًا للعملة هو 0.037 ، أو 3.7٪. كانت القيمة المتوقعة 10 رؤوس في هذه الحالة ، لذلك قدم المشارك رهانًا ضعيفًا.
يسلط الضوء
التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي يلخص احتمالية أن تأخذ القيمة واحدة من قيمتين مستقلتين ضمن مجموعة معينة من المعلمات أو الافتراضات.
الافتراضات الأساسية للتوزيع ذي الحدين هي أن هناك نتيجة واحدة فقط لكل تجربة ، وأن كل تجربة لها نفس احتمالية النجاح ، وأن كل تجربة متنافية أو مستقلة عن بعضها البعض.
التوزيع ذو الحدين هو توزيع منفصل شائع يستخدم في الإحصاء ، على عكس التوزيع المستمر ، مثل التوزيع الطبيعي.
