Binomial fordeling

Hvad er den binomiale fordeling?

Binomialfordelingen er en sandsynlighedsfordeling,. der opsummerer sandsynligheden for, at en værdi vil tage en af to uafhængige værdier under et givet sæt parametre eller antagelser.

De underliggende antagelser for den binomiale fordeling er, at der kun er ét udfald for hvert forsøg, at hvert forsøg har samme sandsynlighed for succes, og at hvert forsøg er gensidigt udelukkende eller uafhængigt af hinanden.

Forståelse af binomialfordeling

Den binomiale fordeling er en almindelig diskret fordeling, der bruges i statistik, i modsætning til en kontinuerlig fordeling, såsom normalfordelingen. Dette skyldes, at binomialfordelingen kun tæller to tilstande, typisk repræsenteret som 1 (for en succes) eller 0 (for en fiasko) givet et antal forsøg i dataene. Binomialfordelingen repræsenterer således sandsynligheden for x succeser i n forsøg, givet en successandsynlighed p for hvert forsøg.

Binomial fordeling opsummerer antallet af forsøg eller observationer, når hvert forsøg har samme sandsynlighed for at opnå en bestemt værdi. Den binomiale fordeling bestemmer sandsynligheden for at observere et bestemt antal vellykkede resultater i et bestemt antal forsøg.

Binomialfordelingen bruges ofte i samfundsvidenskabelige statistikker som en byggesten til modeller for dikotome udfaldsvariable, som om en republikaner eller demokrat vil vinde et kommende valg, eller om en person vil dø inden for en bestemt tidsperiode osv.

Analyse af binomialfordeling

Den forventede værdi eller middelværdi af en binomialfordeling beregnes ved at gange antallet af forsøg (n) med sandsynligheden for succeser (p) eller nx p.

For eksempel er den forventede værdi af antallet af hoveder i 100 forsøg med hoved og historier 50 eller (100 * 0,5). Et andet almindeligt eksempel på binomialfordelingen er ved at estimere chancerne for succes for en frikastskytte i basketball, hvor 1 = en kurv er lavet og 0 = en miss.

Binomialfordelingsformlen beregnes som:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

hvor:

• n er antallet af forsøg (forekomster)

• X er antallet af vellykkede forsøg

• p er sandsynligheden for succes i et enkelt forsøg

• nCx er kombinationen af n og x. En kombination er antallet af måder at vælge et eksempel på x elementer fra et sæt af n forskellige objekter, hvor rækkefølgen ikke betyder noget, og udskiftninger ikke er tilladt. Bemærk, at nCx=n!/(r!(n−r)!), hvor ! er faktoriel (altså 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

Middelværdien af binomialfordelingen er np, og variansen af binomialfordelingen er np (1 − p). Når p = 0,5, er fordelingen symmetrisk omkring middelværdien. Når p > 0,5 er fordelingen skæv til venstre. Når p < 0,5 er fordelingen skæv til højre.

Den binomiale fordeling er summen af en række af flere uafhængige og identisk fordelte Bernoulli-forsøg. I et Bernoulli-forsøg siges eksperimentet at være tilfældigt og kan kun have to mulige udfald: succes eller fiasko.

For eksempel betragtes det at vende en mønt for at være en Bernoulli-retssag; hvert forsøg kan kun tage en af to værdier (hoveder eller haler), hver succes har samme sandsynlighed (sandsynligheden for at vende et hoved er 0,5), og resultaterne af et forsøg påvirker ikke resultaterne af en anden. Bernoulli-fordelingen er et specialtilfælde af binomialfordelingen, hvor antallet af forsøg n = 1.

Eksempel på binomialfordeling

Binomialfordelingen beregnes ved at multiplicere sandsynligheden for succes hævet til potensen af antallet af succeser og sandsynligheden for fiasko hævet til potensen af forskellen mellem antallet af succeser og antallet af forsøg. Derefter ganges produktet med kombinationen mellem antallet af forsøg og antallet af succeser.

Antag for eksempel, at et kasino har oprettet et nyt spil, hvor deltagerne er i stand til at placere væddemål på antallet af hoveder eller haler i et bestemt antal møntvendinger. Antag, at en deltager ønsker at placere et væddemål på $10, at der vil være præcis seks hoveder i 20 møntvendinger. Deltageren ønsker at beregne sandsynligheden for, at dette sker, og derfor bruger de beregningen til binomialfordelingen.

Sandsynligheden blev beregnet som: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). som følge heraf er sandsynligheden for, at præcis seks hoveder forekommer i 20 møntvendinger, 0,037 eller 3,7 %. Den forventede værdi var 10 hoveder i dette tilfælde, så deltageren lavede en dårlig indsats.

##Højdepunkter

• Den binomiale fordeling er en sandsynlighedsfordeling, der opsummerer sandsynligheden for, at en værdi vil tage en af to uafhængige værdier under et givet sæt af parametre eller antagelser.

• De underliggende antagelser for den binomiale fordeling er, at der kun er ét udfald for hvert forsøg, at hvert forsøg har samme sandsynlighed for succes, og at hvert forsøg er gensidigt udelukkende eller uafhængigt af hinanden.

• Binomialfordelingen er en almindelig diskret fordeling, der bruges i statistik, i modsætning til en kontinuerlig fordeling, såsom normalfordelingen.