Binomial distribusjon

Hva er binomialfordelingen?

Binomialfordelingen er en sannsynlighetsfordeling som oppsummerer sannsynligheten for at en verdi vil ta en av to uavhengige verdier under et gitt sett med parametere eller forutsetninger.

De underliggende forutsetningene for den binomiale fordelingen er at det bare er ett utfall for hver prøve, at hver prøve har samme sannsynlighet for suksess, og at hver prøve er gjensidig utelukkende eller uavhengig av hverandre.

Forstå binomial distribusjon

Binomialfordelingen er en vanlig diskret fordeling som brukes i statistikk, i motsetning til en kontinuerlig fordeling, for eksempel normalfordelingen. Dette er fordi binomialfordelingen bare teller to tilstander, typisk representert som 1 (for en suksess) eller 0 (for en fiasko) gitt et antall forsøk i dataene. Binomialfordelingen representerer dermed sannsynligheten for x suksesser i n forsøk, gitt en suksesssannsynlighet p for hvert forsøk.

Binomial fordeling oppsummerer antall forsøk, eller observasjoner når hvert forsøk har samme sannsynlighet for å oppnå en bestemt verdi. Den binomiale fordelingen bestemmer sannsynligheten for å observere et spesifisert antall vellykkede utfall i et spesifisert antall forsøk.

Binomialfordelingen brukes ofte i samfunnsvitenskapelig statistikk som en byggestein for modeller for dikotome utfallsvariabler, som om en republikaner eller demokrat vil vinne et kommende valg eller om et individ vil dø innen en spesifisert tidsperiode, etc.

Analyserer binomial distribusjon

Den forventede verdien, eller gjennomsnittet, av en binomialfordeling, beregnes ved å multiplisere antall forsøk (n) med sannsynligheten for suksess (p), eller nx p.

For eksempel er den forventede verdien av antall hoder i 100 forsøk med hode og historier 50, eller (100 * 0,5). Et annet vanlig eksempel på binomialfordelingen er ved å estimere sjansene for suksess for en frikastskytter i basketball der 1 = en kurv lages og 0 = en miss.

Binomialfordelingsformelen beregnes som:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

hvor:

• n er antall forsøk (forekomster)

• X er antall vellykkede forsøk

• p er sannsynligheten for suksess i en enkelt prøvelse

• nCx er kombinasjonen av n og x. En kombinasjon er antall måter å velge et utvalg av x elementer fra et sett med n distinkte objekter der rekkefølgen ikke betyr noe og erstatninger ikke er tillatt. Merk at nCx=n!/(r!(n−r)!), hvor ! er faktoriell (altså 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

Gjennomsnittet av binomialfordelingen er np, og variansen til binomialfordelingen er np (1 − p). Når p = 0,5, er fordelingen symmetrisk rundt gjennomsnittet. Når p > 0,5 er fordelingen skjev til venstre. Når p < 0,5 er fordelingen skjev til høyre.

Binomialfordelingen er summen av en serie med flere uavhengige og identisk distribuerte Bernoulli-forsøk. I en Bernoulli-forsøk sies eksperimentet å være tilfeldig og kan bare ha to mulige utfall: suksess eller fiasko.

For eksempel anses å snu en mynt å være en Bernoulli-rettssak; hver prøve kan bare ta en av to verdier (hoder eller haler), hver suksess har samme sannsynlighet (sannsynligheten for å snu et hode er 0,5), og resultatene av en prøve påvirker ikke resultatene til en annen. Bernoulli-fordelingen er et spesialtilfelle av binomialfordelingen hvor antall forsøk n = 1.

Eksempel på binomial distribusjon

Binomialfordelingen beregnes ved å multiplisere sannsynligheten for suksess hevet til potensen av antall suksesser og sannsynligheten for fiasko hevet til potensen av forskjellen mellom antall suksesser og antall forsøk. Deretter multipliserer du produktet med kombinasjonen mellom antall forsøk og antall suksesser.

Anta for eksempel at et kasino har opprettet et nytt spill der deltakerne er i stand til å satse på antall hoder eller haler i et spesifisert antall myntsvingninger. Anta at en deltaker ønsker å satse $10 på at det vil være nøyaktig seks hoder i 20 myntsvingninger. Deltakeren ønsker å beregne sannsynligheten for at dette skal skje, og bruker derfor beregningen for binomialfordelingen.

Sannsynligheten ble beregnet som: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). følgelig er sannsynligheten for at nøyaktig seks hoder oppstår i 20 myntsvingninger 0,037, eller 3,7 %. Forventet verdi var 10 hoder i dette tilfellet, så deltakeren gjorde en dårlig innsats.

##Høydepunkter

• Binomialfordelingen er en sannsynlighetsfordeling som oppsummerer sannsynligheten for at en verdi vil ta en av to uavhengige verdier under et gitt sett med parametere eller forutsetninger.

• De underliggende forutsetningene for binomialfordelingen er at det kun er ett utfall for hver prøve, at hver prøve har samme sannsynlighet for å lykkes, og at hver prøve er gjensidig utelukkende eller uavhengig av hverandre.

– Binomialfordelingen er en vanlig diskret fordeling som brukes i statistikk, i motsetning til en kontinuerlig fordeling, som normalfordelingen.