द्विपद वितरण

द्विपद वितरण क्या है?

द्विपद वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो इस संभावना को सारांशित करता है कि कोई मान दिए गए मापदंडों या मान्यताओं के तहत दो स्वतंत्र मानों में से एक लेगा।

द्विपद वितरण की अंतर्निहित धारणा यह है कि प्रत्येक परीक्षण के लिए केवल एक ही परिणाम होता है, कि प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभावना होती है, और यह कि प्रत्येक परीक्षण परस्पर अनन्य या एक दूसरे से स्वतंत्र होता है।

द्विपद वितरण को समझना

द्विपद वितरण एक सामान्य असतत वितरण है जिसका उपयोग आँकड़ों में किया जाता है, जैसा कि सामान्य वितरण जैसे निरंतर वितरण के विपरीत होता है । ऐसा इसलिए है क्योंकि द्विपद वितरण केवल दो राज्यों की गणना करता है, आमतौर पर डेटा में कई परीक्षणों को देखते हुए 1 (सफलता के लिए) या 0 (विफलता के लिए) के रूप में दर्शाया जाता है। इस प्रकार द्विपद बंटन n परीक्षणों में x सफलताओं की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की प्रायिकता p दी गई है।

द्विपद वितरण परीक्षणों, या टिप्पणियों की संख्या को सारांशित करता है जब प्रत्येक परीक्षण में एक विशेष मूल्य प्राप्त करने की समान संभावना होती है। द्विपद वितरण एक निर्दिष्ट संख्या में परीक्षणों में सफल परिणामों की एक निर्दिष्ट संख्या को देखने की संभावना को निर्धारित करता है।

द्विपद वितरण का उपयोग अक्सर सामाजिक विज्ञान के आँकड़ों में द्विभाजित परिणाम चर के मॉडल के लिए एक बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में किया जाता है, जैसे कि क्या कोई रिपब्लिकन या डेमोक्रेट आगामी चुनाव जीतेगा या क्या कोई व्यक्ति एक निर्दिष्ट अवधि के भीतर मर जाएगा, आदि।

द्विपद वितरण का विश्लेषण

एक द्विपद बंटन का अपेक्षित मान या माध्य, परीक्षणों की संख्या (n) को सफलताओं की प्रायिकता (p), या nx p से गुणा करके परिकलित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, सिर और कहानियों के 100 परीक्षणों में प्रमुखों की संख्या का अपेक्षित मूल्य 50, या (100 * 0.5) है। द्विपद वितरण का एक अन्य सामान्य उदाहरण बास्केटबॉल में फ़्री-थ्रो शूटर के लिए सफलता की संभावना का अनुमान लगाना है जहां 1 = एक टोकरी बनाई जाती है और 0 = एक मिस।

द्विपद वितरण सूत्र की गणना इस प्रकार की जाती है:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

कहाँ पे:

• n परीक्षणों की संख्या है (घटनाएं)

• X सफल परीक्षणों की संख्या है

• पी एकल परीक्षण में सफलता की संभावना है

• एनसीएक्स एन और एक्स का संयोजन है। एक संयोजन n अलग-अलग वस्तुओं के एक सेट से x तत्वों का एक नमूना चुनने के तरीकों की संख्या है जहां क्रम मायने नहीं रखता है और प्रतिस्थापन की अनुमति नहीं है। ध्यान दें कि nCx=n!/(r!(n−r)!), कहा पे ! भाज्य है (इसलिए, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

द्विपद बंटन का माध्य np है, और द्विपद बंटन का प्रसरण np (1 - p) है। जब p = 0.5, वितरण माध्य के चारों ओर सममित होता है। जब p> 0.5, वितरण बाईं ओर तिरछा होता है। जब p <0.5, वितरण दाईं ओर तिरछा होता है।

द्विपद वितरण कई स्वतंत्र और समान रूप से वितरित बर्नौली परीक्षणों की एक श्रृंखला का योग है। बर्नौली परीक्षण में, प्रयोग को यादृच्छिक कहा जाता है और इसके केवल दो संभावित परिणाम हो सकते हैं: सफलता या विफलता।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालना बर्नौली परीक्षण माना जाता है; प्रत्येक परीक्षण केवल दो मूल्यों (सिर या पूंछ) में से एक ले सकता है, प्रत्येक सफलता की समान संभावना होती है (एक सिर को फ़्लिप करने की संभावना 0.5 है), और एक परीक्षण के परिणाम दूसरे के परिणामों को प्रभावित नहीं करते हैं। बर्नौली वितरण द्विपद बंटन का एक विशेष मामला है जहां परीक्षणों की संख्या n = 1 है।

द्विपद वितरण का उदाहरण

द्विपद बंटन की गणना सफलता की प्रायिकता को सफलताओं की संख्या की घात और असफलता की प्रायिकता को सफलताओं की संख्या और परीक्षणों की संख्या के बीच के अंतर की घात तक गुणा करके की जाती है। फिर, परीक्षण की संख्या और सफलताओं की संख्या के बीच के संयोजन से उत्पाद को गुणा करें।

उदाहरण के लिए, मान लें कि एक कैसीनो ने एक नया गेम बनाया है जिसमें प्रतिभागी सिक्का फ़्लिप की एक निर्दिष्ट संख्या में सिर या पूंछ की संख्या पर दांव लगाने में सक्षम हैं। मान लें कि एक प्रतिभागी $ 10 का दांव लगाना चाहता है कि 20 सिक्के के फ्लिप में ठीक छह सिर होंगे। प्रतिभागी ऐसा होने की संभावना की गणना करना चाहता है, और इसलिए, वे द्विपद वितरण के लिए गणना का उपयोग करते हैं।

प्रायिकता की गणना इस प्रकार की गई: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 - 0.50) ^ (20 - 6)। नतीजतन, 20 सिक्कों के पलटने में ठीक छह शीर्ष होने की संभावना 0.037, या 3.7% है। इस मामले में अपेक्षित मूल्य 10 शीर्ष था, इसलिए प्रतिभागी ने खराब दांव लगाया।

##हाइलाइट

• द्विपद वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो इस संभावना को सारांशित करता है कि कोई मान दिए गए मापदंडों या मान्यताओं के तहत दो स्वतंत्र मानों में से एक लेगा।

• द्विपद वितरण की अंतर्निहित धारणा यह है कि प्रत्येक परीक्षण के लिए केवल एक परिणाम होता है, कि प्रत्येक परीक्षण में सफलता की समान संभावना होती है, और यह कि प्रत्येक परीक्षण परस्पर अनन्य या एक दूसरे से स्वतंत्र होता है।

• द्विपद वितरण एक सामान्य असतत वितरण है जिसका उपयोग आँकड़ों में किया जाता है, जैसा कि सामान्य वितरण जैसे निरंतर वितरण के विपरीत होता है।