Binomialverteilung
Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung,. die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert unter einem gegebenen Satz von Parametern oder Annahmen einen von zwei unabhÀngigen Werten annimmt.
Die zugrunde liegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es nur ein Ergebnis fĂŒr jeden Versuch gibt, dass jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat und dass jeder Versuch sich gegenseitig ausschlieĂt oder unabhĂ€ngig voneinander ist.
Binomialverteilung verstehen
Die Binomialverteilung ist eine ĂŒbliche diskrete Verteilung, die in der Statistik verwendet wird, im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung, wie z. B. der Normalverteilung. Dies liegt daran, dass die Binomialverteilung nur zwei ZustĂ€nde zĂ€hlt, die typischerweise als 1 (fĂŒr einen Erfolg) oder 0 (fĂŒr einen Misserfolg) dargestellt werden, wenn eine Anzahl von Versuchen in den Daten vorliegt. Die Binomialverteilung stellt somit die Wahrscheinlichkeit fĂŒr x Erfolge in n Versuchen dar, wenn fĂŒr jeden Versuch eine Erfolgswahrscheinlichkeit p gegeben ist.
Die Binomialverteilung fasst die Anzahl der Versuche oder Beobachtungen zusammen, wenn jeder Versuch die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, einen bestimmten Wert zu erreichen. Die Binomialverteilung bestimmt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl erfolgreicher Ergebnisse in einer bestimmten Anzahl von Versuchen zu beobachten.
Die Binomialverteilung wird in der sozialwissenschaftlichen Statistik hĂ€ufig als Baustein fĂŒr Modelle fĂŒr dichotome Ergebnisvariablen verwendet, z. B. ob ein Republikaner oder Demokrat eine bevorstehende Wahl gewinnen wird oder ob eine Person innerhalb eines bestimmten Zeitraums sterben wird usw.
Analyse der Binomialverteilung
Der erwartete Wert oder Mittelwert einer Binomialverteilung wird berechnet, indem die Anzahl der Versuche (n) mit der Erfolgswahrscheinlichkeit (p) oder nx p multipliziert wird.
Zum Beispiel ist der erwartete Wert der Anzahl der Köpfe in 100 Versuchen von Head and Tales 50 oder (100 * 0,5). Ein weiteres gĂ€ngiges Beispiel fĂŒr die Binomialverteilung ist die SchĂ€tzung der Erfolgschancen fĂŒr einen Freiwurf-SchĂŒtzen im Basketball, wobei 1 = ein Korb und 0 = ein Fehlschuss ist.
Die Binomialverteilungsformel wird wie folgt berechnet:
P~(x:n,p)~ = nCx xpx(1-p)nx
wo:
n ist die Anzahl der Versuche (Vorkommen)
X ist die Anzahl der erfolgreichen Versuche
p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch
nCx ist die Kombination aus n und x. Eine Kombination ist die Anzahl von Möglichkeiten, eine Stichprobe von x Elementen aus einer Menge von n unterschiedlichen Objekten auszuwĂ€hlen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt und Ersetzungen nicht zulĂ€ssig sind. Beachten Sie, dass nCx=n!/(r!(nâr)!), wobei ! FakultĂ€t ist (also 4! = 4 x 3 x 2 x 1)
Der Mittelwert der Binomialverteilung ist np, und die Varianz der Binomialverteilung ist np (1 â p). Bei p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch um den Mittelwert. Wenn p > 0,5 ist, ist die Verteilung nach links schief. Bei p < 0,5 ist die Verteilung rechtsschief.
Die Binomialverteilung ist die Summe einer Reihe von mehreren unabhÀngigen und identisch verteilten Bernoulli-Versuchen. In einem Bernoulli-Versuch wird das Experiment als zufÀllig bezeichnet und kann nur zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg oder Misserfolg.
Beispielsweise gilt das Werfen einer MĂŒnze als Bernoulli-Prozess; jeder Versuch kann nur einen von zwei Werten annehmen (Kopf oder Zahl), jeder Erfolg hat die gleiche Wahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, ist 0,5), und die Ergebnisse eines Versuchs beeinflussen nicht die Ergebnisse eines anderen. Die Bernoulli-Verteilung ist ein Sonderfall der Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Versuche n = 1 ist.
Beispiel einer Binomialverteilung
Die Binomialverteilung wird berechnet, indem die Erfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Anzahl der Erfolge und die Misserfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Differenz zwischen der Anzahl der Erfolge und der Anzahl der Versuche multipliziert werden. Multiplizieren Sie dann das Produkt mit der Kombination aus der Anzahl der Versuche und der Anzahl der Erfolge.
Nehmen wir zum Beispiel an, dass ein Casino ein neues Spiel erstellt hat, bei dem die Teilnehmer Wetten auf die Anzahl von Kopf oder Zahl bei einer bestimmten Anzahl von MĂŒnzwĂŒrfen platzieren können. Angenommen, ein Teilnehmer möchte eine 10-Dollar-Wette platzieren, dass bei 20 MĂŒnzwĂŒrfen genau sechs Köpfe fallen. Der Teilnehmer möchte die Wahrscheinlichkeit dafĂŒr berechnen und verwendet daher die Berechnung fĂŒr die Binomialverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit wurde wie folgt berechnet: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). Folglich betrĂ€gt die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 MĂŒnzwĂŒrfen genau sechs Mal âKopfâ erscheint, 0,037 oder 3,7 %. Der erwartete Wert war in diesem Fall 10 Kopf, also hat der Teilnehmer eine schlechte Wette gemacht.
Höhepunkte
Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert unter einem gegebenen Satz von Parametern oder Annahmen einen von zwei unabhÀngigen Werten annimmt.
Die zugrunde liegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es fĂŒr jeden Versuch nur ein Ergebnis gibt, dass jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat und dass jeder Versuch sich gegenseitig ausschlieĂt oder voneinander unabhĂ€ngig ist.
Die Binomialverteilung ist eine in der Statistik ĂŒbliche diskrete Verteilung im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung wie der Normalverteilung.
