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이항 분포

이항 분포

이항 λΆ„ν¬λž€ λ¬΄μ—‡μž…λ‹ˆκΉŒ?

이항 λΆ„ν¬λŠ” 주어진 λ§€κ°œλ³€μˆ˜ λ˜λŠ” κ°€μ •μ—μ„œ 값이 두 개의 독립적인 κ°’ 쀑 ν•˜λ‚˜λ₯Ό μ·¨ν•  κ°€λŠ₯성을 μš”μ•½ ν•œ ν™•λ₯  뢄포 μž…λ‹ˆλ‹€.

이항 λΆ„ν¬μ˜ κΈ°λ³Έ 가정은 각 μ‹œν–‰μ— λŒ€ν•΄ ν•˜λ‚˜μ˜ 결과만 있고 각 μ‹œν–‰μ˜ 성곡 ν™•λ₯ μ€ λ™μΌν•˜λ©° 각 μ‹œν–‰μ€ μƒν˜Έ 배타적 μ΄κ±°λ‚˜ μ„œλ‘œ λ…λ¦½μ μ΄λΌλŠ” κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€.

이항 뢄포 μ΄ν•΄ν•˜κΈ°

이항 λΆ„ν¬λŠ” μ •κ·œ 뢄포 와 같은 연속 뢄포와 달리 톡계에 μ‚¬μš©λ˜λŠ” 일반적인 이산 뢄포 μž…λ‹ˆλ‹€. μ΄λŠ” 이항 뢄포가 두 가지 μƒνƒœλ§Œ κ³„μ‚°ν•˜κΈ° λ•Œλ¬Έμž…λ‹ˆλ‹€. 일반적으둜 λ°μ΄ν„°μ˜ μ—¬λŸ¬ μ‹œλ„κ°€ 주어지면 1(μ„±κ³΅μ˜ 경우) λ˜λŠ” 0(μ‹€νŒ¨μ˜ 경우)으둜 ν‘œμ‹œλ©λ‹ˆλ‹€. λ”°λΌμ„œ 이항 λΆ„ν¬λŠ” 각 μ‹œν–‰μ— λŒ€ν•œ 성곡 ν™•λ₯  pκ°€ 주어지면 n번 μ‹œν–‰μ—μ„œ x번 성곡할 ν™•λ₯ μ„ λ‚˜νƒ€λƒ…λ‹ˆλ‹€.

이항 λΆ„ν¬λŠ” μ‹œν–‰ 횟수 λ˜λŠ” 각 μ‹œν–‰μ΄ ν•˜λ‚˜μ˜ νŠΉμ • 값에 도달할 λ™μΌν•œ ν™•λ₯ μ„ κ°€μ§ˆ λ•Œμ˜ 관찰을 μš”μ•½ν•©λ‹ˆλ‹€. 이항 λΆ„ν¬λŠ” μ§€μ •λœ μ‹œν–‰ νšŸμˆ˜μ—μ„œ μ§€μ •λœ 수의 성곡적인 κ²°κ³Όλ₯Ό κ΄€μ°°ν•  ν™•λ₯ μ„ κ²°μ •ν•©λ‹ˆλ‹€.

이항 λΆ„ν¬λŠ” μ‚¬νšŒ κ³Όν•™ ν†΅κ³„μ—μ„œ 곡화당 λ˜λŠ” 민주당이 λ‹€κ°€μ˜€λŠ” μ„ κ±°μ—μ„œ μŠΉλ¦¬ν• μ§€ λ˜λŠ” 개인이 μ§€μ •λœ κΈ°κ°„ 내에 사망할지 λ“±κ³Ό 같은 이뢄법적 κ²°κ³Ό λ³€μˆ˜μ— λŒ€ν•œ λͺ¨λΈμ˜ λΉŒλ”© λΈ”λ‘μœΌλ‘œ 자주 μ‚¬μš©λ©λ‹ˆλ‹€.

이항 뢄포 뢄석

이항 λΆ„ν¬μ˜ κΈ°λŒ€κ°’ λ˜λŠ” 평균은 μ‹œν–‰ 횟수(n)에 성곡 ν™•λ₯ (p) λ˜λŠ” nx pλ₯Ό κ³±ν•˜μ—¬ κ³„μ‚°λ©λ‹ˆλ‹€.

예λ₯Ό λ“€μ–΄, 머리와 μ΄μ•ΌκΈ°μ˜ 100번 μ‹œλ„μ—μ„œ 머리 개수의 μ˜ˆμƒ 값은 50 λ˜λŠ” (100 * 0.5)μž…λ‹ˆλ‹€. 이항 λΆ„ν¬μ˜ 또 λ‹€λ₯Έ 일반적인 μ˜ˆλŠ” λ†κ΅¬μ—μ„œ 자유투 μŠˆν„°μ˜ 성곡 κ°€λŠ₯성을 μΆ”μ •ν•˜λŠ” κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€. μ—¬κΈ°μ„œ 1은 κ³¨λŒ€λ₯Ό λ§Œλ“€κ³  0은 λΉ—λ‚˜κ°‘λ‹ˆλ‹€.

이항 뢄포 곡식은 λ‹€μŒκ³Ό 같이 κ³„μ‚°λ©λ‹ˆλ‹€.

P~(x:n,p)~ = nCx xpx(1-p)nx

μ–΄λ””:

  • n은 μ‹œν–‰ 횟수(λ°œμƒ)μž…λ‹ˆλ‹€.

  • XλŠ” μ„±κ³΅ν•œ μ‹œλ„μ˜ μˆ˜μž…λ‹ˆλ‹€.

  • pλŠ” 단일 μ‹œν–‰μ—μ„œ 성곡할 ν™•λ₯ μž…λ‹ˆλ‹€.

  • nCxλŠ” nκ³Ό x의 μ‘°ν•©μž…λ‹ˆλ‹€. 쑰합은 μˆœμ„œκ°€ μ€‘μš”ν•˜μ§€ μ•Šκ³  λŒ€μ²΄κ°€ ν—ˆμš©λ˜μ§€ μ•ŠλŠ” n개의 κ³ μœ ν•œ 개체 μ§‘ν•©μ—μ„œ x μš”μ†Œμ˜ μƒ˜ν”Œμ„ μ„ νƒν•˜λŠ” λ°©λ²•μ˜ μˆ˜μž…λ‹ˆλ‹€. nCx=n!/(r!(nβˆ’r)!), μ—¬κΈ°μ„œ ! κ³„μŠΉμž…λ‹ˆλ‹€(λ”°λΌμ„œ 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

이항 λΆ„ν¬μ˜ 평균은 np이고 이항 λΆ„ν¬μ˜ 뢄산은 np(1 βˆ’ p)μž…λ‹ˆλ‹€. p = 0.5일 λ•Œ λΆ„ν¬λŠ” 평균을 μ€‘μ‹¬μœΌλ‘œ λŒ€μΉ­μž…λ‹ˆλ‹€. p > 0.5이면 뢄포가 μ™Όμͺ½μœΌλ‘œ 치우쳐 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€. p < 0.5이면 뢄포가 였λ₯Έμͺ½μœΌλ‘œ 치우쳐 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€.

이항 λΆ„ν¬λŠ” 일련의 독립적이고 λ™μΌν•˜κ²Œ λΆ„ν¬λœ Bernoulli μ‹œν–‰μ˜ ν•©μž…λ‹ˆλ‹€. λ² λ₯΄λˆ„이 μ‹œν–‰μ—μ„œ μ‹€ν—˜μ€ λ¬΄μž‘μœ„λΌκ³  ν•˜λ©° 성곡 λ˜λŠ” μ‹€νŒ¨μ˜ 두 가지 κ°€λŠ₯ν•œ 결과만 κ°€μ§ˆ 수 μžˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€.

예λ₯Ό λ“€μ–΄, 동전 λ˜μ§€κΈ°λŠ” λ² λ₯΄λˆ„이 μ‹œν–‰μœΌλ‘œ κ°„μ£Όλ©λ‹ˆλ‹€. 각 μ‹œλ„λŠ” 두 가지 κ°’(μ•ž λ˜λŠ” λ’€) 쀑 ν•˜λ‚˜λ§Œ μ·¨ν•  수 있으며, 각 성곡은 λ™μΌν•œ ν™•λ₯ (머리λ₯Ό 뒀집을 ν™•λ₯ μ€ 0.5)이며, ν•œ μ‹œλ„μ˜ κ²°κ³ΌλŠ” λ‹€λ₯Έ μ‹œλ„μ˜ 결과에 영ν–₯을 λ―ΈμΉ˜μ§€ μ•ŠμŠ΅λ‹ˆλ‹€. Bernoulli λΆ„ν¬λŠ” μ‹œν–‰ 횟수 n = 1인 이항 λΆ„ν¬μ˜ νŠΉμˆ˜ν•œ κ²½μš°μž…λ‹ˆλ‹€.

이항 λΆ„ν¬μ˜ 예

이항 λΆ„ν¬λŠ” 성곡 ν™•λ₯ μ„ 성곡 횟수의 κ±°λ“­μ œκ³±μœΌλ‘œ κ³±ν•˜κ³  μ‹€νŒ¨ ν™•λ₯ μ„ 높일 ν™•λ₯ μ„ 성곡 νšŸμˆ˜μ™€ μ‹œν–‰ 횟수의 차이의 κ±°λ“­μ œκ³±μœΌλ‘œ κ³±ν•˜μ—¬ κ³„μ‚°ν•©λ‹ˆλ‹€. 그런 λ‹€μŒ μ‹œλ„ νšŸμˆ˜μ™€ 성곡 횟수의 μ‘°ν•©μœΌλ‘œ κ³±ν•©λ‹ˆλ‹€.

예λ₯Ό λ“€μ–΄ μΉ΄μ§€λ…Έμ—μ„œ μ°Έκ°€μžκ°€ μ§€μ •λœ 횟수의 동전 λ˜μ§€κΈ°μ—μ„œ μ•žλ©΄ λ˜λŠ” λ’·λ©΄ μˆ˜μ— λ² νŒ…ν•  수 μžˆλŠ” μƒˆ κ²Œμž„μ„ λ§Œλ“€μ—ˆλ‹€κ³  κ°€μ •ν•©λ‹ˆλ‹€. μ°Έκ°€μžκ°€ 20번의 동전 λ˜μ§€κΈ°μ—μ„œ μ •ν™•νžˆ 6개의 μ•žλ©΄μ΄ λ‚˜μ˜¬ κ²ƒμ΄λΌλŠ” 10λ‹¬λŸ¬ λ‚΄κΈ°λ₯Ό ν•œλ‹€κ³  κ°€μ •ν•©λ‹ˆλ‹€. μ°Έκ°€μžλŠ” μ΄λŸ¬ν•œ 일이 λ°œμƒν•  ν™•λ₯ μ„ κ³„μ‚°ν•˜κΈ°λ₯Ό μ›ν•˜λ―€λ‘œ 이항 뢄포 계산을 μ‚¬μš©ν•©λ‹ˆλ‹€.

ν™•λ₯ μ€ (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 - 0.50) ^ (20 - 6)κ³Ό 같이 κ³„μ‚°λ˜μ—ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€. 결과적으둜 20번의 동전 λ˜μ§€κΈ°μ—μ„œ μ •ν™•νžˆ 6번의 μ•žλ©΄μ΄ λ‚˜μ˜¬ ν™•λ₯ μ€ 0.037 λ˜λŠ” 3.7%μž…λ‹ˆλ‹€. 이 경우 μ˜ˆμƒ 값은 10 ν—€λ“œμ΄λ―€λ‘œ μ°Έκ°€μžλŠ” 잘λͺ»λœ λ‚΄κΈ°λ₯Ό ν–ˆμŠ΅λ‹ˆλ‹€.

##ν•˜μ΄λΌμ΄νŠΈ

  • 이항 λΆ„ν¬λŠ” 주어진 λ§€κ°œλ³€μˆ˜ λ˜λŠ” κ°€μ •μ—μ„œ 값이 두 개의 독립적인 κ°’ 쀑 ν•˜λ‚˜λ₯Ό μ·¨ν•  κ°€λŠ₯성을 μš”μ•½ν•œ ν™•λ₯  λΆ„ν¬μž…λ‹ˆλ‹€.

  • 이항 λΆ„ν¬μ˜ κΈ°λ³Έ 가정은 각 μ‹œν–‰μ— λŒ€ν•΄ ν•˜λ‚˜μ˜ 결과만 있고, 각 μ‹œν–‰μ˜ 성곡 ν™•λ₯ μ€ λ™μΌν•˜λ©°, 각 μ‹œν–‰μ€ μƒν˜Έ λ°°νƒ€μ μ΄κ±°λ‚˜ μ„œλ‘œ λ…λ¦½μ μ΄λΌλŠ” κ²ƒμž…λ‹ˆλ‹€.

  • 이항 λΆ„ν¬λŠ” μ •κ·œ 뢄포와 같은 연속 뢄포와 달리 ν†΅κ³„μ—μ„œ μ‚¬μš©λ˜λŠ” 일반적인 이산 λΆ„ν¬μž…λ‹ˆλ‹€.