Distribuzione binomiale

Qual è la distribuzione binomiale?

La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità che riassume la probabilità che un valore assuma uno di due valori indipendenti sotto un dato insieme di parametri o ipotesi.

I presupposti alla base della distribuzione binomiale sono che esiste un solo risultato per ogni prova, che ogni prova ha la stessa probabilità di successo e che ogni prova si esclude a vicenda o è indipendente l'una dall'altra.

Comprensione della distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale è una distribuzione discreta comune utilizzata in statistica, al contrario di una distribuzione continua, come la distribuzione normale. Questo perché la distribuzione binomiale conta solo due stati, tipicamente rappresentati come 1 (per un successo) o 0 (per un fallimento) dato un numero di prove nei dati. La distribuzione binomiale rappresenta quindi la probabilità di x successi in n prove, data una probabilità di successo p per ciascuna prova.

La distribuzione binomiale riassume il numero di prove o osservazioni quando ciascuna prova ha la stessa probabilità di raggiungere un valore particolare. La distribuzione binomiale determina la probabilità di osservare un determinato numero di risultati positivi in un determinato numero di prove.

La distribuzione binomiale viene spesso utilizzata nelle statistiche delle scienze sociali come elemento costitutivo di modelli per variabili di esito dicotomiche, ad esempio se un repubblicano o un democratico vincerà le imminenti elezioni o se un individuo morirà entro un determinato periodo di tempo, ecc.

Analisi della distribuzione binomiale

Il valore atteso, o media, di una distribuzione binomiale, si calcola moltiplicando il numero di prove (n) per la probabilità di successo (p), ovvero nx p.

Ad esempio, il valore atteso del numero di teste in 100 prove di testa e racconti è 50, o (100 * 0,5). Un altro esempio comune di distribuzione binomiale è la stima delle possibilità di successo per un tiratore di tiri liberi nella pallacanestro dove 1 = viene realizzato un canestro e 0 = un errore.

La formula della distribuzione binomiale è calcolata come:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

dove:

• n è il numero di prove (occorrenze)

• X è il numero di prove riuscite

• p è la probabilità di successo in una singola prova

• nCx è la combinazione di n e x. Una combinazione è il numero di modi per scegliere un campione di x elementi da un insieme di n oggetti distinti in cui l'ordine non ha importanza e le sostituzioni non sono consentite. Si noti che nCx=n!/(r!(n−r)!), dove ! è fattoriale (quindi, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

La media della distribuzione binomiale è np e la varianza della distribuzione binomiale è np (1 − p). Quando p = 0,5, la distribuzione è simmetrica attorno alla media. Quando p > 0,5, la distribuzione è asimmetrica a sinistra. Quando p < 0,5, la distribuzione è asimmetrica a destra.

La distribuzione binomiale è la somma di una serie di prove di Bernoulli multiple indipendenti e identicamente distribuite. In un processo Bernoulli, si dice che l'esperimento sia casuale e può avere solo due possibili risultati: successo o fallimento.

Ad esempio, lanciare una moneta è considerato un processo Bernoulli; ogni prova può assumere solo uno dei due valori (testa o croce), ogni successo ha la stessa probabilità (la probabilità di capovolgere una testa è 0,5) ei risultati di una prova non influenzano i risultati di un'altra. La distribuzione di Bernoulli è un caso speciale della distribuzione binomiale dove il numero di prove n = 1.

Esempio di distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale si calcola moltiplicando la probabilità di successo elevata alla potenza del numero di successi e la probabilità di fallimento elevata alla potenza della differenza tra il numero di successi e il numero di prove. Quindi, moltiplica il prodotto per la combinazione tra il numero di prove e il numero di successi.

Ad esempio, supponiamo che un casinò abbia creato un nuovo gioco in cui i partecipanti sono in grado di scommettere sul numero di testa o croce in un determinato numero di lanci di monete. Supponiamo che un partecipante voglia scommettere $ 10 che ci saranno esattamente sei teste in 20 lanci di monete. Il partecipante vuole calcolare la probabilità che ciò avvenga e quindi utilizza il calcolo per la distribuzione binomiale.

La probabilità è stata calcolata come: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). Di conseguenza, la probabilità che si verifichino esattamente sei teste in 20 lanci di monete è 0,037, ovvero 3,7%. Il valore previsto in questo caso era di 10 teste, quindi il partecipante ha fatto una scommessa scadente.

Mette in risalto

• La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità che riassume la probabilità che un valore assuma uno di due valori indipendenti sotto un dato insieme di parametri o ipotesi.

• I presupposti alla base della distribuzione binomiale sono che esiste un solo risultato per ogni prova, che ogni prova ha la stessa probabilità di successo e che ogni prova è mutuamente esclusiva o indipendente l'una dall'altra.

• La distribuzione binomiale è una distribuzione discreta comune utilizzata in statistica, al contrario di una distribuzione continua, come la distribuzione normale.