Binomial distribution

Vad är binomialfördelningen?

Binomialfördelningen är en sannolikhetsfördelning som sammanfattar sannolikheten för att ett värde kommer att ta ett av två oberoende värden under en given uppsättning parametrar eller antaganden.

De underliggande antagandena för binomialfördelningen är att det bara finns ett resultat för varje försök, att varje försök har samma sannolikhet att lyckas och att varje försök är ömsesidigt uteslutande eller oberoende av varandra.

Förstå binomialfördelning

Binomialfördelningen är en vanlig diskret fördelning som används i statistik, i motsats till en kontinuerlig fördelning, såsom normalfördelningen. Detta beror på att binomialfördelningen bara räknar två tillstånd, vanligtvis representerade som 1 (för en framgång) eller 0 (för ett misslyckande) givet ett antal försök i data. Binomialfördelningen representerar alltså sannolikheten för x framgångar i n försök, givet en framgångssannolikhet p för varje försök.

Binomial distribution sammanfattar antalet försök, eller observationer när varje försök har samma sannolikhet att uppnå ett visst värde. Binomialfördelningen bestämmer sannolikheten att observera ett visst antal framgångsrika resultat i ett specificerat antal försök.

Binomialfördelningen används ofta i samhällsvetenskaplig statistik som en byggsten för modeller för dikotoma utfallsvariabler, som om en republikan eller demokrat kommer att vinna ett kommande val eller om en individ kommer att dö inom en viss tidsperiod, etc.

Analysera binomialfördelning

Det förväntade värdet, eller medelvärdet, av en binomialfördelning, beräknas genom att multiplicera antalet försök (n) med sannolikheten för framgångar (p), eller nx p.

Till exempel är det förväntade värdet av antalet huvuden i 100 försök med huvud och berättelser 50, eller (100 * 0,5). Ett annat vanligt exempel på binomialfördelningen är genom att uppskatta chanserna till framgång för en frikastskytt i basket där 1 = en korg görs och 0 = en miss.

Binomialfördelningsformeln beräknas som:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

var:

• n är antalet försök (förekomster)

• X är antalet framgångsrika försök

• p är sannolikheten för framgång i ett enda försök

• nCx är kombinationen av n och x. En kombination är antalet sätt att välja ett urval av x element från en uppsättning av n distinkta objekt där ordningen inte spelar någon roll och ersättningar inte är tillåtna. Observera att nCx=n!/(r!(n−r)!), där ! är faktoriell (alltså 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

Medelvärdet för binomfördelningen är np, och variansen för binomfördelningen är np (1 − p). När p = 0,5 är fördelningen symmetrisk kring medelvärdet. När p > 0,5 är fördelningen sned åt vänster. När p < 0,5 är fördelningen skev åt höger.

Binomialfördelningen är summan av en serie av flera oberoende och identiskt fördelade Bernoulli-försök. I ett Bernoulli-försök sägs experimentet vara slumpmässigt och kan bara ha två möjliga utfall: framgång eller misslyckande.

Att vända ett mynt anses till exempel vara en Bernoulli-rättegång; varje försök kan bara ta ett av två värden (huvuden eller svansar), varje framgång har samma sannolikhet (sannolikheten att vända ett huvud är 0,5), och resultaten av ett försök påverkar inte resultatet av en annan. Bernoulli-fördelningen är ett specialfall av binomialfördelningen där antalet försök n = 1.

Exempel på binomialfördelning

Binomialfördelningen beräknas genom att multiplicera sannolikheten för framgång upphöjd till potensen av antalet framgångar och sannolikheten för misslyckande upphöjd till makten av skillnaden mellan antalet framgångar och antalet försök. Multiplicera sedan produkten med kombinationen mellan antalet försök och antalet framgångar.

Anta till exempel att ett kasino skapat ett nytt spel där deltagarna kan satsa på antalet huvuden eller svansar i ett visst antal myntvändningar. Anta att en deltagare vill satsa $10 att det blir exakt sex huvuden i 20 myntvändningar. Deltagaren vill beräkna sannolikheten för att detta inträffar, och därför använder de beräkningen för binomialfördelningen.

Sannolikheten beräknades som: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). följaktligen är sannolikheten för att exakt sex huvuden inträffar vid 20 myntvändningar 0,037, eller 3,7 %. Det förväntade värdet var 10 huvuden i det här fallet, så deltagaren gjorde en dålig insats.

##Höjdpunkter

• Binomialfördelningen är en sannolikhetsfördelning som sammanfattar sannolikheten för att ett värde kommer att ta ett av två oberoende värden under en given uppsättning parametrar eller antaganden.

• De underliggande antagandena för binomialfördelningen är att det bara finns ett resultat för varje försök, att varje försök har samma sannolikhet att lyckas och att varje försök är ömsesidigt uteslutande eller oberoende av varandra.

– Binomialfördelningen är en vanlig diskret fördelning som används i statistik, till skillnad från en kontinuerlig fördelning, som normalfördelningen.