Rozkład dwumianowy

Jaki jest rozkład dwumianowy?

Rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa,. który podsumowuje prawdopodobieństwo, że wartość przyjmie jedną z dwóch niezależnych wartości w ramach danego zestawu parametrów lub założeń.

Założenia leżące u podstaw rozkładu dwumianowego są takie, że dla każdej próby istnieje tylko jeden wynik, że każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu oraz że każda próba wzajemnie się wyklucza lub jest od siebie niezależna.

Zrozumienie rozkładu dwumianowego

Rozkład dwumianowy jest powszechnym rozkładem dyskretnym używanym w statystyce, w przeciwieństwie do rozkładu ciągłego, takiego jak rozkład normalny. Dzieje się tak, ponieważ rozkład dwumianowy liczy tylko dwa stany, zwykle reprezentowane jako 1 (dla sukcesu) lub 0 (dla niepowodzenia), biorąc pod uwagę liczbę prób w danych. Rozkład dwumianowy reprezentuje zatem prawdopodobieństwo x sukcesów w n próbach, przy danym prawdopodobieństwie powodzenia p dla każdej próby.

Rozkład dwumianowy podsumowuje liczbę prób lub obserwacji, gdy każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo osiągnięcia jednej określonej wartości. Rozkład dwumianowy określa prawdopodobieństwo zaobserwowania określonej liczby pomyślnych wyników w określonej liczbie prób.

Rozkład dwumianowy jest często używany w statystykach nauk społecznych jako element konstrukcyjny modeli dychotomicznych zmiennych wynikowych, takich jak to, czy Republikanin lub Demokrata wygra nadchodzące wybory, czy dana osoba umrze w określonym czasie itp.

Analiza rozkładu dwumianowego

Oczekiwaną wartość lub średnią rozkładu dwumianowego oblicza się, mnożąc liczbę prób (n) przez prawdopodobieństwo sukcesów (p) lub nx p.

Na przykład oczekiwana wartość liczby orłów w 100 próbach głowy i opowieści wynosi 50, czyli (100 * 0,5). Innym powszechnym przykładem rozkładu dwumianowego jest szacowanie szans powodzenia strzelca z rzutu wolnego w koszykówce, gdzie 1 = kosz, a 0 = pudło.

Wzór na rozkład dwumianowy jest obliczany jako:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

gdzie:

• n to liczba prób (wystąpień)

• X to liczba udanych prób

• p to prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie

• nCx jest kombinacją n i x. Kombinacja to liczba sposobów wybrania próbki x elementów z zestawu n różnych obiektów, w których kolejność nie ma znaczenia, a zamiany nie są dozwolone. Zauważ, że nCx=n!/(r!(n−r)!), gdzie ! jest silnia (więc 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

Średnia z rozkładu dwumianowego to np, a wariancja rozkładu dwumianowego to np. (1 − p). Gdy p = 0,5, rozkład jest symetryczny wokół średniej. Gdy p > 0,5 rozkład jest przekrzywiony w lewo. Gdy p < 0,5 rozkład jest przekrzywiony w prawo.

Rozkład dwumianowy jest sumą szeregu niezależnych i identycznie rozłożonych prób Bernoulliego. W próbie Bernoulliego mówi się, że eksperyment jest losowy i może mieć tylko dwa możliwe wyniki: sukces lub porażkę.

Na przykład rzucanie monetą jest uważane za proces Bernoulliego; każda próba może przyjąć tylko jedną z dwóch wartości (orzeł lub reszek), każdy sukces ma takie samo prawdopodobieństwo (prawdopodobieństwo odwrócenia głowy wynosi 0,5), a wyniki jednej próby nie wpływają na wyniki drugiej. Rozkład Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, w którym liczba prób n = 1.

Przykład rozkładu dwumianowego

Rozkład dwumianowy oblicza się, mnożąc prawdopodobieństwo sukcesu podniesione do potęgi liczby sukcesów i prawdopodobieństwo niepowodzenia podniesione do potęgi różnicy między liczbą sukcesów a liczbą prób. Następnie pomnóż iloczyn przez kombinację liczby prób i liczby sukcesów.

Załóżmy na przykład, że kasyno stworzyło nową grę, w której uczestnicy mogą stawiać zakłady na liczbę orłów lub reszek w określonej liczbie rzutów monetą. Załóżmy, że uczestnik chce postawić 10 $, że w 20 rzutach monetą wypadnie dokładnie sześć orłów. Uczestnik chce obliczyć prawdopodobieństwo tego wystąpienia, dlatego wykorzystuje obliczenia do rozkładu dwumianowego.

Prawdopodobieństwo obliczono jako: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). w konsekwencji prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie sześciu orłów w 20 rzutach monetą wynosi 0,037, czyli 3,7%. Oczekiwana wartość wynosiła w tym przypadku 10 orłów, więc uczestnik postawił kiepski zakład.

##Przegląd najważniejszych wydarzeń

• Rozkład dwumianowy to rozkład prawdopodobieństwa, który podsumowuje prawdopodobieństwo, że wartość przyjmie jedną z dwóch niezależnych wartości w ramach danego zestawu parametrów lub założeń.

• Założenia leżące u podstaw rozkładu dwumianowego są takie, że dla każdej próby istnieje tylko jeden wynik, że każda próba ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu i że każda próba wzajemnie się wyklucza lub jest niezależna.

• Rozkład dwumianowy jest powszechnym rozkładem dyskretnym używanym w statystyce, w przeciwieństwie do rozkładu ciągłego, takiego jak rozkład normalny.