二项分布

什么是二项分布？

二项分布是一种概率分布，它总结了在给定的一组参数或假设下一个值将采用两个独立值之一的可能性。

二项分布的基本假设是每个试验只有一个结果，每个试验具有相同的成功概率，并且每个试验是相互排斥的，或者相互独立。

二项分布是统计学中常用的离散分布，与连续分布（如正态分布）相反。这是因为二项分布只计算两个状态，通常表示为 1（表示成功）或 0（表示失败）给定数据中的多次试验。因此，在给定每次试验的成功概率 p 的情况下，二项分布表示 n 次试验中 x 次成功的概率。

二项分布总结了试验次数，或当每个试验具有相同概率获得一个特定值时的观察次数。二项分布决定了在指定数量的试验中观察到指定数量的成功结果的概率。

二项分布通常在社会科学统计中用作二分结果变量模型的构建块，例如共和党或民主党是否会赢得即将到来的选举，或者个人是否会在指定的时间内死亡等。

二项分布的期望值或均值是通过将试验次数 (n) 乘以成功概率 (p) 或 nx p 来计算的。

例如，100 次 head and tales 试验中正面数量的期望值为 50，即 (100 * 0.5)。二项分布的另一个常见示例是估计篮球中罚球手的成功机会，其中 1 = 投篮命中，0 = 未命中。

二项分布公式计算如下：

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

在哪里：

n 是试验次数（发生次数）
X 是成功试验的次数
p 是单次试验成功的概率
nCx 是 n 和 x 的组合。组合是从一组 n 个不同对象中选择 x 个元素样本的方法的数量，其中顺序无关紧要且不允许替换。注意 nCx=n!/(r!(n−r)!)，其中 !是阶乘（所以，4！= 4 x 3 x 2 x 1）

二项分布的均值是 np，二项分布的方差是 np (1 − p)。当 p = 0.5 时，分布围绕均值对称。当 p > 0.5 时，分布向左倾斜。当 p < 0.5 时，分布向右倾斜。

二项分布是一系列多个独立且相同分布的伯努利试验的总和。在伯努利试验中，据说该实验是随机的，只能有两种可能的结果：成功或失败。

例如，抛硬币被认为是伯努利试验；每次试验只能取两个值之一（正面或反面），每次成功的概率相同（翻转正面的概率为 0.5），一次试验的结果不影响另一次试验的结果。伯努利分布是试验次数 n = 1 的二项分布的特例。

二项分布的计算方法是将成功概率乘以成功次数的幂和失败概率乘以成功次数与试验次数之差的幂。然后，将乘积乘以试验次数和成功次数之间的组合。

例如，假设一家赌场创建了一个新游戏，其中参与者能够在指定数量的硬币翻转中对正面或反面的数量下注。假设参与者想要下 10 美元的赌注，即在 20 次硬币翻转中恰好有 6 个正面。参与者想要计算这种情况发生的概率，因此，他们使用二项分布的计算。

概率计算为：(20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 - 0.50) ^ (20 - 6)。因此，在 20 次抛硬币中恰好出现 6 次正面朝上的概率为 0.037，即 3.7%。在这种情况下，预期值是 10 次正面，因此参与者下注很差。

＃＃强调