Distribuição binomial

Qual é a distribuição binomial?

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade que resume a probabilidade de um valor assumir um de dois valores independentes sob um determinado conjunto de parâmetros ou suposições.

As suposições subjacentes da distribuição binomial são que há apenas um resultado para cada tentativa, que cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso e que cada tentativa é mutuamente exclusiva ou independente uma da outra.

Entendendo a Distribuição Binomial

A distribuição binomial é uma distribuição discreta comum usada em estatística, em oposição a uma distribuição contínua, como a distribuição normal. Isso ocorre porque a distribuição binomial conta apenas dois estados, normalmente representados como 1 (para um sucesso) ou 0 (para uma falha) dado um número de tentativas nos dados. A distribuição binomial representa assim a probabilidade de x sucessos em n tentativas, dada uma probabilidade de sucesso p para cada tentativa.

A distribuição binomial resume o número de tentativas ou observações quando cada tentativa tem a mesma probabilidade de atingir um valor específico. A distribuição binomial determina a probabilidade de observar um número específico de resultados bem-sucedidos em um número específico de tentativas.

A distribuição binomial é frequentemente usada em estatísticas de ciências sociais como um bloco de construção para modelos de variáveis de resultado dicotômicas, como se um republicano ou democrata vencerá uma próxima eleição ou se um indivíduo morrerá dentro de um período de tempo especificado, etc.

Analisando a distribuição binomial

O valor esperado, ou média, de uma distribuição binomial, é calculado multiplicando o número de tentativas (n) pela probabilidade de sucessos (p), ou nx p.

Por exemplo, o valor esperado do número de caras em 100 tentativas de cara e contos é 50, ou (100 * 0,5). Outro exemplo comum da distribuição binomial é estimar as chances de sucesso para um arremessador de lance livre no basquete, onde 1 = uma cesta é feita e 0 = uma falta.

A fórmula de distribuição binomial é calculada como:

P~(x:n,p)~ = _nC_x xp^x(1-p)^nx

Onde:

• n é o número de tentativas (ocorrências)

• X é o número de tentativas bem-sucedidas

• p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa

• nCx é a combinação de n e x. Uma combinação é o número de maneiras de escolher uma amostra de x elementos de um conjunto de n objetos distintos onde a ordem não importa e as substituições não são permitidas. Observe que nCx=n!/(r!(n−r)!), onde ! é fatorial (portanto, 4! = 4 x 3 x 2 x 1)

A média da distribuição binomial é np, e a variância da distribuição binomial é np (1 − p). Quando p = 0,5, a distribuição é simétrica em torno da média. Quando p > 0,5, a distribuição é assimétrica à esquerda. Quando p < 0,5, a distribuição é assimétrica à direita.

A distribuição binomial é a soma de uma série de múltiplas tentativas de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas. Em um teste de Bernoulli, diz-se que o experimento é aleatório e só pode ter dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.

Por exemplo, lançar uma moeda é considerado um teste de Bernoulli; cada tentativa pode levar apenas um de dois valores (cara ou coroa), cada sucesso tem a mesma probabilidade (a probabilidade de sair cara é 0,5), e os resultados de uma tentativa não influenciam os resultados de outra. A distribuição de Bernoulli é um caso especial da distribuição binomial onde o número de tentativas n = 1.

Exemplo de distribuição binomial

A distribuição binomial é calculada multiplicando a probabilidade de sucesso elevada à potência do número de sucessos e a probabilidade de falha elevada à potência da diferença entre o número de sucessos e o número de tentativas. Em seguida, multiplique o produto pela combinação entre o número de tentativas e o número de sucessos.

Por exemplo, suponha que um cassino criou um novo jogo no qual os participantes podem fazer apostas no número de caras ou coroas em um número específico de lançamentos de moedas. Suponha que um participante queira fazer uma aposta de $ 10 que haverá exatamente seis caras em 20 lançamentos de moedas. O participante deseja calcular a probabilidade de isso ocorrer e, portanto, usa o cálculo para a distribuição binomial.

A probabilidade foi calculada como: (20! / (6! * (20 - 6)!)) * (0,50)^(6) * (1 - 0,50) ^ (20 - 6). consequentemente, a probabilidade de exatamente seis caras ocorrerem em 20 lançamentos de moedas é de 0,037, ou 3,7%. O valor esperado era de 10 caras neste caso, então o participante fez uma aposta ruim.

##Destaques

• A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade que resume a probabilidade de um valor assumir um de dois valores independentes sob um determinado conjunto de parâmetros ou suposições.

• As suposições subjacentes da distribuição binomial são que há apenas um resultado para cada tentativa, que cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso e que cada tentativa é mutuamente exclusiva ou independente uma da outra.

• A distribuição binomial é uma distribuição discreta comum usada em estatística, em oposição a uma distribuição contínua, como a distribuição normal.