Moyenne harmonique

Qu'est-ce qu'une moyenne harmonique ?

La moyenne harmonique est un type de moyenne numérique. Il est calculé en divisant le nombre d'observations par l'inverse de chaque nombre de la série. Ainsi, la moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses.

La moyenne harmonique de 1, 4 et 4 est :

$\frac {3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4}\right)}\ =\ \frac{3}{ 1.5}\ =\ 2$

L'inverse d'un nombre n est simplement 1 / n.

Les bases d'une moyenne harmonique

La moyenne harmonique aide à trouver des relations multiplicatives ou diviseuses entre les fractions sans se soucier des dénominateurs communs. Les moyennes harmoniques sont souvent utilisées pour faire la moyenne de choses comme les tarifs (par exemple, la vitesse de déplacement moyenne compte tenu d'une durée de plusieurs trajets).

La moyenne harmonique pondérée est utilisée en finance pour faire la moyenne des multiples comme le ratio cours/bénéfice, car elle donne un poids égal à chaque point de données. L'utilisation d'une moyenne arithmétique pondérée pour calculer la moyenne de ces ratios donnerait plus de poids aux points de données élevés qu'aux points de données faibles, car les ratios cours/bénéfices ne sont pas normalisés en fonction des prix alors que les bénéfices sont égalisés.

La moyenne harmonique est la moyenne harmonique pondérée, où les poids sont égaux à 1. La moyenne harmonique pondérée de x₁, x₂, x₃ avec les poids correspondants w₁, w₂, w₃ est donné par :

$\displaystyle{\frac{\sumn_w_i }{\sumn_\frac}}$

Moyenne harmonique versus moyenne arithmétique et moyenne géométrique

D'autres façons de calculer les moyennes incluent la moyenne arithmétique simple et la moyenne géométrique. Une moyenne arithmétique est la somme d'une série de nombres divisée par le nombre de cette série de nombres. Si on vous demandait de trouver la moyenne (arithmétique) des résultats des tests de la classe, vous ajouteriez simplement tous les résultats des tests des étudiants, puis diviseriez cette somme par le nombre d'étudiants. Par exemple, si cinq étudiants passent un examen et que leurs scores sont de 60 %, 70 %, 80 %, 90 % et 100 %, la moyenne arithmétique de la classe sera de 80 %.

La moyenne géométrique est la moyenne d'un ensemble de produits, dont le calcul est couramment utilisé pour déterminer les résultats de performance d'un investissement ou d'un portefeuille. Il est techniquement défini comme "le ** nième ** produit racine de ** n ** nombres". La moyenne géométrique doit être utilisée lorsque vous travaillez avec des pourcentages, qui sont dérivés de valeurs, tandis que la moyenne arithmétique standard fonctionne avec les valeurs elles-mêmes.

La moyenne harmonique est mieux utilisée pour les fractions telles que les taux ou les multiples.

Exemple de moyenne harmonique

A titre d'exemple, prenons deux entreprises. L'un a une capitalisation boursière de 100 milliards de dollars et des bénéfices de 4 milliards de dollars (P/E de 25) et l'autre une capitalisation boursière de 1 milliard de dollars et des bénéfices de 4 millions de dollars (P/E de 250). Dans un indice composé des deux actions, avec 10% investis dans la première et 90% investis dans la seconde, le ratio P/E de l'indice est :

$\begin&\text{Utilisation du WAM :\ P/E}\ =\ 0.1 \times25+ 0.9\times250\ =\ 227.5\\&\text{Utilisation du WHM :\ P/E}\ =\ \frac{0.1\ +\ 0.9}{\frac{0.1}{25}\ +\ \frac{0.9}{250}}\ \approx\ 131.6\&\textbf{où :}\&\text=\text{moyenne arithmétique pondérée}\&\text{P/E}=\text{rapport cours/bénéfices}\&\text =\text{moyenne harmonique pondérée}\end$