Média Harmônica

O que é uma média harmônica?

A média harmônica é um tipo de média numérica. É calculado dividindo o número de observações pelo inverso de cada número da série. Assim, a média harmônica é a recíproca da média aritmética das recíprocas.

A média harmônica de 1, 4 e 4 é:

$\frac {3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4}\right)}\ =\ \frac{3}{ 1.5}\ =\ 2$

O recíproco de um número n é simplesmente 1 / n.

O básico de uma média harmônica

A média harmônica ajuda a encontrar relações multiplicativas ou divisoras entre frações sem se preocupar com denominadores comuns. Os meios harmônicos são frequentemente usados para calcular a média de coisas como taxas (por exemplo, a velocidade média de viagem dada a duração de várias viagens).

A média harmônica ponderada é usada em finanças para múltiplos médios, como a relação preço-lucro, porque dá peso igual a cada ponto de dados. O uso de uma média aritmética ponderada para calcular a média desses índices daria maior peso aos pontos de dados altos do que aos pontos de dados baixos, porque os índices preço-lucro não são normalizados pelo preço enquanto os ganhos são equalizados.

A média harmônica é a média harmônica ponderada, onde os pesos são iguais a 1. A média harmônica ponderada de x₁, x₂, x₃ com os pesos correspondentes w₁, w₂, w₃ é dado como:

$\displaystyle{\frac{\sumn_w_i }{\sumn_\frac}}$

Média Harmônica Versus Média Aritmética e Média Geométrica

Outras maneiras de calcular médias incluem a média aritmética simples e a média geométrica. Uma média aritmética é a soma de uma série de números dividida pela contagem dessa série de números. Se lhe pedissem para encontrar a média (aritmética) da classe das notas dos testes, você simplesmente somaria todas as notas dos testes dos alunos e, em seguida, dividiria essa soma pelo número de alunos. Por exemplo, se cinco alunos fizessem um exame e suas notas fossem 60%, 70%, 80%, 90% e 100%, a média da aula de aritmética seria 80%.

A média geométrica é a média de um conjunto de produtos, cujo cálculo é comumente usado para determinar os resultados de desempenho de um investimento ou carteira. É tecnicamente definido como "o nésimo produto raiz de n números". A média geométrica deve ser utilizada quando se trabalha com porcentagens, que são derivadas de valores, enquanto a média aritmética padrão trabalha com os próprios valores.

A média harmônica é melhor usada para frações como taxas ou múltiplos.

Exemplo da média harmônica

Como exemplo, tome duas empresas. Um tem uma capitalização de mercado de $ 100 bilhões e lucro de $ 4 bilhões (P/L de 25) e outro com capitalização de mercado de $ 1 bilhão e lucro de $ 4 milhões (P/E de 250). Em um índice formado pelas duas ações, com 10% investidos na primeira e 90% investidos na segunda, a relação P/L do índice é:

$\begin&\text{Usando o WAM:\ P/E}\ =\ 0.1 \times25+ 0.9\times250\ =\ 227.5\\&\text{Usando o WHM:\ P/E}\ =\ \frac{0.1\ +\ 0.9}{\frac{0.1}{25}\ +\ \ frac{0.9}{250}}\ \approx\ 131.6\&\textbf\&\text=\text{média aritmética ponderada}\&\text{P/E }=\text{relação preço/lucro}\&\text=\text{média harmônica ponderada}\end$

Como se pode observar, a média aritmética ponderada superestima significativamente a relação preço/lucro médio.

Destaques

• Meios harmônicos são usados em finanças para média de dados como múltiplos de preços.

• A média harmônica é a recíproca da média aritmética das recíprocas.

• Meios harmônicos também podem ser utilizados por técnicos de mercado para identificar padrões como sequências de Fibonacci.