Harmonische Mittel

Was ist ein harmonisches Mittel?

Das harmonische Mittel ist eine Art numerischer Mittelwert. Sie wird berechnet, indem die Anzahl der Beobachtungen durch den Kehrwert jeder Zahl in der Reihe dividiert wird. Somit ist das harmonische Mittel der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte.

Das harmonische Mittel von 1, 4 und 4 ist:

$\frac {3}{\left(\frac{1}{1}\ +\ \frac{1}{4}\ +\ \frac{1}{4}\right)}\ =\ \frac{3}{ 1.5}\ =\ 2$

Der Kehrwert einer Zahl n ist einfach 1 / n.

Die Grundlagen eines harmonischen Mittelwerts

Das harmonische Mittel hilft dabei, multiplikative oder divisorische Beziehungen zwischen Brüchen zu finden, ohne sich Gedanken über gemeinsame Nenner machen zu müssen. Harmonische Mittel werden oft verwendet, um Dinge wie Raten zu mitteln (z. B. die durchschnittliche Reisegeschwindigkeit bei einer Dauer von mehreren Fahrten).

Das gewichtete harmonische Mittel wird im Finanzwesen verwendet, um Vielfache wie das Kurs-Gewinn-Verhältnis zu mitteln, da es jedem Datenpunkt das gleiche Gewicht verleiht. Die Verwendung eines gewichteten arithmetischen Mittels zum Durchschnitt dieser Verhältnisse würde hohen Datenpunkten mehr Gewicht verleihen als niedrigen Datenpunkten, da die Kurs-Gewinn-Verhältnisse nicht preisnormalisiert werden, während die Gewinne ausgeglichen werden.

Das harmonische Mittel ist das gewichtete harmonische Mittel, wobei die Gewichte gleich 1 sind. Das gewichtete harmonische Mittel von x₁, x₂, x₃ mit den entsprechenden Gewichten w₁, w₂, w₃ ist gegeben als:

$\displaystyle{\frac{\sumn_w_i }{\sumn_\frac}}$

Harmonischer Mittelwert gegenüber arithmetischem Mittelwert und geometrischem Mittelwert

Andere Möglichkeiten zur Berechnung von Durchschnittswerten sind das einfache arithmetische Mittel und das geometrische Mittel. Ein arithmetisches Mittel ist die Summe einer Zahlenreihe dividiert durch die Anzahl dieser Zahlenreihen. Wenn Sie gebeten würden, den (arithmetischen) Klassendurchschnitt der Testergebnisse zu ermitteln, würden Sie einfach alle Testergebnisse der Schüler zusammenzählen und diese Summe dann durch die Anzahl der Schüler teilen. Wenn beispielsweise fünf Schüler eine Prüfung abgelegt haben und ihre Ergebnisse 60 %, 70 %, 80 %, 90 % und 100 % betragen, beträgt der Durchschnitt der Rechenklasse 80 %.

Das geometrische Mittel ist der Durchschnitt einer Reihe von Produkten, deren Berechnung üblicherweise verwendet wird, um die Performanceergebnisse einer Anlage oder eines Portfolios zu bestimmen. Es wird technisch als „das n-te Wurzelprodukt von n Zahlen“ definiert. Beim Arbeiten mit Prozentzahlen, die aus Werten abgeleitet werden, muss das geometrische Mittel verwendet werden, während das Standard-arithmetische Mittel mit den Werten selbst arbeitet.

Das harmonische Mittel wird am besten für Brüche wie Raten oder Vielfache verwendet.

Beispiel für das harmonische Mittel

Nehmen wir als Beispiel zwei Firmen. Einer hat eine Marktkapitalisierung von 100 Milliarden US-Dollar und einen Gewinn von 4 Milliarden US-Dollar (KGV von 25) und einer hat eine Marktkapitalisierung von 1 Milliarde US-Dollar und einen Gewinn von 4 Millionen US-Dollar (KGV von 250). In einem Index, der aus den beiden Aktien besteht, wobei 10 % in die erste und 90 % in die zweite investiert sind, beträgt das KGV des Index:

$\begin&\text{Using the WAM:\ P/E}\ =\ 0.1 \times25+ 0.9\times250\ =\ 227.5\\&\text{Verwenden des WHM:\ P/E}\ =\ \frac{0.1\ +\ 0.9}{\frac{0.1}{25}\ +\ \frac{0.9}{250}}\ \approx\ 131.6\&\textbf\&\text=\text\&\text=\text{Kurs-Gewinn-Verhältnis}\&\text =\text\end$