Betinget sandsynlighed
Hvad er betinget sandsynlighed?
Betinget sandsynlighed er defineret som sandsynligheden for, at en begivenhed eller et udfald indtræffer, baseret på forekomsten af en tidligere begivenhed eller et tidligere udfald. Betinget sandsynlighed beregnes ved at gange sandsynligheden for den foregående begivenhed med den opdaterede sandsynlighed for den efterfølgende eller betingede begivenhed.
For eksempel:
Begivenhed A er, at en person, der søger om college, vil blive accepteret. Der er en 80% chance for, at denne person bliver optaget på college.
Begivenhed B er, at denne person får kollegieboliger. Der vil kun blive stillet kollegieboliger til rådighed for 60 % af alle de optagne studerende.
P (Accepteret og kollegieboliger) = P (Koblebolig | Accepteret) P (Accepteret) = (0,60)*(0,80) = 0,48.
En betinget sandsynlighed ville se på disse to begivenheder i forhold til hinanden, såsom sandsynligheden for, at I begge bliver optaget på college, og I er forsynet med kollegieboliger.
Betinget sandsynlighed kan sammenlignes med ubetinget sandsynlighed. Ubetinget sandsynlighed refererer til sandsynligheden for, at en begivenhed vil finde sted, uanset om andre begivenheder har fundet sted, eller om andre forhold er til stede.
Forståelse af betinget sandsynlighed
Som tidligere nævnt er betingede sandsynligheder betinget af et tidligere resultat. Det gør også en række antagelser. Antag for eksempel, at du tegner tre kugler – rød, blå og grøn – fra en pose. Hver marmor har lige stor chance for at blive trukket. Hvad er den betingede sandsynlighed for at tegne den røde marmor efter allerede at have tegnet den blå?
For det første er sandsynligheden for at tegne en blå marmor omkring 33 %, fordi det er et muligt udfald ud af tre. Forudsat at denne første begivenhed finder sted, vil der være to kugler tilbage, hvor hver har en 50% chance for at blive trukket. Så chancen for at tegne en blå marmor efter allerede at have tegnet en rød marmor ville være omkring 16,5% (33% x 50%).
Betinget sandsynlighed bruges på en række forskellige områder, såsom forsikring,. politik og mange forskellige matematikområder.
Som et andet eksempel for at give yderligere indsigt i dette koncept, kan du overveje, at en fair terning er blevet kastet, og du bliver bedt om at give sandsynligheden for, at det var en femmer. Der er seks lige sandsynlige udfald, så dit svar er 1/6.
Men tænk, hvis du, inden du svarer, får ekstra information om, at det rullede tal var ulige. Da der kun er tre ulige tal, der er mulige, hvoraf det ene er fem, ville du helt sikkert revidere dit estimat for sandsynligheden for, at en femmer blev kastet fra 1/6 til 1/3.
Denne reviderede sandsynlighed for, at en hændelse A er indtruffet, i betragtning af den yderligere information om, at en anden hændelse B helt sikkert har fundet sted i denne afprøvning af eksperimentet, kaldes den betingede sandsynlighed for A givet B og er angivet med P(A|B).
Betinget sandsynlighedsformel
P(B|A) = P(A og B) / P(A)
Eller:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
Hvor
P = Sandsynlighed
A = Hændelse A
B = Begivenhed B
Endnu et eksempel på betinget sandsynlighed
Antag som et andet eksempel, at en studerende søger om optagelse på et universitet og håber på at modtage et akademisk stipendium. Skolen, som de søger til, accepterer 100 ud af hver 1.000 ansøgere (10%) og uddeler akademiske stipendier til 10 ud af hver 500 studerende, der accepteres (2%).
Af legatmodtagerne modtager 50% af dem også universitetsstipendier til bøger, måltider og boliger. For de studerende er chancen for, at de bliver optaget og derefter modtage et stipendium, 0,2 % (0,1 x 0,02). Chancen for at de bliver optaget, modtager legatet, og så også får stipendium til bøger osv. er ,1 % (0,1 x ,02 x ,5).
Betinget sandsynlighed vs. fælles sandsynlighed og marginal sandsynlighed
Betinget sandsynlighed: p(A|B) er sandsynligheden for, at begivenhed A indtræffer, givet at begivenhed B indtræffer. For eksempel, givet at du trak et rødt kort, hvad er sandsynligheden for, at det er en firer (p(fire|rød))=2/26=1/13. Så ud af de 26 røde kort (med et rødt kort), er der to firere, så 2/26=1/13.
Marginal sandsynlighed: sandsynligheden for, at en hændelse indtræffer (p(A)), det kan opfattes som en ubetinget sandsynlighed. Det er ikke betinget af en anden begivenhed. Eksempel: sandsynligheden for, at et trukket kort er rødt (p(rød) = 0,5). Et andet eksempel: sandsynligheden for, at et kort trukket er en 4 (p(fire)=1/13).
Fælles sandsynlighed : p(A og B). Sandsynligheden for, at hændelse A og hændelse B indtræffer. Det er sandsynligheden for skæringspunktet mellem to eller flere begivenheder. Sandsynligheden for skæringspunktet mellem A og B kan skrives p(A ∩ B). Eksempel: sandsynligheden for, at et kort er en firer og rød =p(fire og rød) = 2/52=1/26. (Der er to røde firere i et kortspil med 52, de fire hjerter og de fire med ruder).
Bayes' sætning
Bayes' sætning,. opkaldt efter den britiske matematiker Thomas Bayes fra det 18. århundrede, er en matematisk formel til bestemmelse af betinget sandsynlighed. Sætningen giver en måde at revidere eksisterende forudsigelser eller teorier (opdateringssandsynligheder) givet nye eller yderligere beviser. Inden for finans kan Bayes' teorem bruges til at vurdere risikoen ved at låne penge til potentielle låntagere.
Bayes' teorem er velegnet til og udbredt i maskinlæring.
Bayes' sætning kaldes også Bayes' regel eller Bayes' lov og er grundlaget for området for Bayesiansk statistik. Dette sæt af sandsynlighedsregler giver en mulighed for at opdatere deres forudsigelser af hændelser, der opstår baseret på ny information, der er modtaget, hvilket giver bedre og mere dynamiske estimater.
Bundlinjen
Betinget sandsynlighed undersøger sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer baseret på sandsynligheden for, at en forudgående begivenhed indtræffer. Den anden begivenhed er afhængig af den første begivenhed. Det beregnes ved at gange sandsynligheden for den første begivenhed med sandsynligheden for den anden begivenhed.
Højdepunkter
Bayes' sætning er en matematisk formel, der bruges til at beregne betinget sandsynlighed.
Det er ofte angivet som sandsynligheden for B givet A og skrives som P(B|A), hvor sandsynligheden for B afhænger af, at A sker.
Sandsynligheder klassificeres som enten betingede, marginale eller fælles.
Betinget sandsynlighed refererer til chancerne for, at et eller andet udfald indtræffer, givet at en anden begivenhed også har fundet sted.
Betinget sandsynlighed kan sammenlignes med ubetinget sandsynlighed.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er sammensat sandsynlighed?
Sammensat sandsynlighed ser ud til at bestemme sandsynligheden for, at to uafhængige hændelser indtræffer. Sammensat sandsynlighed multiplicerer sandsynligheden for den første begivenhed med sandsynligheden for den anden begivenhed. Det mest almindelige eksempel er en mønt vendt to gange og bestemmelsen om det andet resultat vil være det samme eller anderledes end det første.
Hvordan beregner du betinget sandsynlighed?
Betinget sandsynlighed beregnes ved at gange sandsynligheden for den foregående begivenhed med sandsynligheden for den efterfølgende eller betingede begivenhed. Betinget sandsynlighed ser på sandsynligheden for, at én begivenhed sker, baseret på sandsynligheden for, at en forudgående begivenhed sker.
Hvad er en betinget sandsynlighedsberegner?
En betinget sandsynlighedsberegner er et onlineværktøj, der beregner betinget sandsynlighed. Det vil give sandsynligheden for, at den første hændelse og den anden hændelse indtræffer. En betinget sandsynlighedsberegner sparer brugeren fra at udføre matematikken manuelt.
Hvad er forudgående sandsynlighed?
Forudsandsynlighed er sandsynligheden for, at en begivenhed indtræffer, før der er indsamlet data for at bestemme sandsynligheden. Det er sandsynligheden som bestemt af en forudgående tro. Forudgående sandsynlighed er en del af Bayesiansk statistisk inferens.
Hvad er forskellen mellem sandsynlighed og betinget sandsynlighed?
Sandsynlighed ser på sandsynligheden for, at én begivenhed indtræffer. Betinget sandsynlighed ser på to begivenheder, der forekommer i forhold til hinanden. Den ser på sandsynligheden for, at en anden begivenhed indtræffer, baseret på sandsynligheden for, at den første begivenhed indtræffer.
