Loi de Poisson
Qu'est-ce qu'une distribution de Poisson ?
Dans les statistiques,. une distribution de Poisson est une distribution de probabilité utilisée pour indiquer combien de fois un événement est susceptible de se produire sur une période donnée. En d'autres termes, il s'agit d'une distribution de comptage. Les distributions de Poisson sont souvent utilisées pour comprendre des événements indépendants qui se produisent à un rythme constant dans un intervalle de temps donné. Il porte le nom du mathématicien français Siméon Denis Poisson.
La distribution de Poisson est une fonction discrète, ce qui signifie que la variable ne peut prendre que des valeurs spécifiques dans une liste (potentiellement infinie). En d'autres termes, la variable ne peut pas prendre toutes les valeurs d'une plage continue. Pour la distribution de Poisson, la variable ne peut prendre que des valeurs entières (0, 1, 2, 3, etc.), sans fractions ni décimales.
Comprendre les distributions de Poisson
Une distribution de Poisson peut être utilisée pour estimer la probabilité que quelque chose se produise "X" nombre de fois. Par exemple, si le nombre moyen de personnes qui achètent des cheeseburgers d'une chaîne de restauration rapide un vendredi soir dans un seul restaurant est de 200, une distribution de Poisson peut répondre à des questions telles que « Quelle est la probabilité que plus de 300 personnes acheter des hamburgers?" L'application de la distribution de Poisson permet ainsi aux gestionnaires d'introduire des systèmes d'ordonnancement optimaux qui ne fonctionneraient pas avec, disons, une distribution normale.
L'une des utilisations historiques et pratiques les plus célèbres de la distribution de Poisson était l'estimation du nombre annuel de soldats de cavalerie prussiens tués à cause de coups de pied de cheval. Les exemples modernes incluent l'estimation du nombre d'accidents de voiture dans une ville d'une taille donnée; en physiologie, cette distribution est souvent utilisée pour calculer les fréquences probabilistes de différents types de sécrétions de neurotransmetteurs. Ou, si un magasin vidéo comptait en moyenne 400 clients chaque vendredi soir, quelle aurait été la probabilité que 600 clients entrent un vendredi soir donné ?
La formule de la distribution de Poisson est
Où:
e est le nombre d'Euler (e = 2,71828...)
x est le nombre d'occurrences
X! est le factoriel de x
λ est égal à la valeur attendue (EV) de x quand celle-ci est aussi égale à sa variance
Étant donné les données qui suivent une distribution de Poisson, il apparaît graphiquement comme :
Dans l'exemple décrit dans le graphique ci-dessus, supposons qu'un processus opérationnel a un taux d'erreur de 3 %. Si nous supposons en outre 100 essais aléatoires, la distribution de Poisson décrit la probabilité d'obtenir un certain nombre d'erreurs sur une certaine période de temps, comme une seule journée.
Si la moyenne est très grande, alors la distribution de Poisson est approximativement une distribution normale.
La distribution de Poisson en finance
La distribution de Poisson est également couramment utilisée pour modéliser les données de comptage financier lorsque le décompte est petit et souvent égal à zéro. À titre d'exemple en finance, il peut être utilisé pour modéliser le nombre de transactions qu'un investisseur type effectuera au cours d'une journée donnée, qui peut être 0 (souvent), ou 1, ou 2, etc.
Comme autre exemple, ce modèle peut être utilisé pour prédire le nombre de « chocs » sur le marché qui se produiront au cours d'une période donnée, disons, sur une décennie.
Points forts
Une distribution de Poisson, nommée d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, peut être utilisée pour estimer le nombre de fois qu'un événement est susceptible de se produire au cours de "X" périodes de temps.
Les distributions de Poisson sont utilisées lorsque la variable d'intérêt est une variable de comptage discrète.
De nombreuses données économiques et financières apparaissent comme des variables de comptage, comme le nombre de fois qu'une personne devient chômeur dans une année donnée, se prêtant ainsi à une analyse avec une distribution de Poisson.
FAQ
Quand faut-il utiliser la distribution de Poisson ?
La distribution de Poisson est mieux appliquée à l'analyse statistique lorsque la variable en question est une variable de comptage. Par exemple, combien de fois X se produit en fonction d'une ou plusieurs variables explicatives. Par exemple, pour estimer le nombre de produits défectueux qui sortiront d'une chaîne de montage compte tenu des différents intrants.
Quelles hypothèses la distribution de Poisson fait-elle ?
Pour que la distribution de Poisson soit précise, tous les événements sont indépendants les uns des autres, le taux d'événements dans le temps est constant et les événements ne peuvent pas se produire simultanément. De plus, la moyenne et la variance seront égales l'une à l'autre.
La distribution de Poisson est-elle discrète ou continue ?
Parce qu'elle mesure des nombres discrets, la distribution de Poisson est également une distribution discrète. Cela peut être mis en contraste avec la distribution normale, qui est continue.
