Poisson distribution
Hvad er en Poisson-fordeling?
I statistik er en Poisson-fordeling en sandsynlighedsfordeling,. der bruges til at vise, hvor mange gange en hændelse sandsynligvis vil forekomme over en bestemt periode. Det er med andre ord en tællefordeling. Poisson-fordelinger bruges ofte til at forstå uafhængige hændelser, der opstår med en konstant hastighed inden for et givet tidsinterval. Det blev opkaldt efter den franske matematiker Siméon Denis Poisson.
Poisson-fordelingen er en diskret funktion, hvilket betyder, at variablen kun kan tage specifikke værdier i en (potentielt uendelig) liste. Sagt på en anden måde kan variablen ikke tage alle værdier i noget kontinuerligt område. For Poisson-fordelingen kan variablen kun tage hele talværdier (0, 1, 2, 3 osv.), uden brøker eller decimaler.
Forstå Poisson-fordelinger
En Poisson-fordeling kan bruges til at estimere, hvor sandsynligt det er, at noget vil ske "X" antal gange. For eksempel, hvis det gennemsnitlige antal mennesker, der køber cheeseburgere fra en fastfood-kæde en fredag aften på en enkelt restaurantplacering, er 200, kan en Poisson-fordeling besvare spørgsmål som: "Hvad er sandsynligheden for, at mere end 300 mennesker vil købe burgere?" Anvendelsen af Poisson-fordelingen gør derved ledere i stand til at indføre optimale planlægningssystemer, der ikke ville fungere med f.eks. en normalfordeling.
En af de mest berømte historiske, praktiske anvendelser af Poisson-fordelingen var at estimere det årlige antal preussiske kavalerisoldater dræbt på grund af hestespark. Moderne eksempler omfatter estimering af antallet af bilulykker i en by af en given størrelse; i fysiologi bruges denne fordeling ofte til at beregne de sandsynlige frekvenser af forskellige typer neurotransmittersekretioner. Eller, hvis en videobutik i gennemsnit havde 400 kunder hver fredag aften, hvad ville sandsynligheden så have været for, at 600 kunder ville komme ind på en given fredag aften?
Formlen for Poisson-fordelingen er
Hvor:
e er Eulers tal (e = 2,71828...)
x er antallet af forekomster
x! er faktoren for x
λ er lig med den forventede værdi (EV) af x, når det også er lig med dens varians
Givet data, der følger en Poisson-fordeling, vises det grafisk som:
I eksemplet afbildet i grafen ovenfor, antag, at nogle operationelle processer har en fejlrate på 3 %. Hvis vi yderligere antager 100 tilfældige forsøg, beskriver Poisson-fordelingen sandsynligheden for at få et vist antal fejl over en vis periode, såsom en enkelt dag.
Hvis middelværdien er meget stor, så er Poisson-fordelingen omtrent en normalfordeling.
Poisson-fordelingen i finans
Poisson-fordelingen bruges også almindeligvis til at modellere økonomiske tælledata, hvor tallet er lille og ofte er nul. Som et eksempel inden for finans kan det bruges til at modellere antallet af handler, som en typisk investor vil foretage på en given dag, som kan være 0 (ofte) eller 1 eller 2 osv.
Som et andet eksempel kan denne model bruges til at forudsige antallet af "chok" på markedet, der vil forekomme i en given tidsperiode, for eksempel over et årti.
Højdepunkter
En Poisson-fordeling, opkaldt efter den franske matematiker Siméon Denis Poisson, kan bruges til at estimere, hvor mange gange en begivenhed sandsynligvis vil finde sted inden for "X"-perioder.
Poisson-fordelinger bruges, når variabelen af interesse er en diskret tællevariabel.
Mange økonomiske og finansielle data optræder som tællevariable, såsom hvor mange gange en person bliver arbejdsløs i et givet år, og dermed egner sig til analyser med en Poisson-fordeling.
Ofte stillede spørgsmål
Hvornår skal Poisson-fordelingen bruges?
Poisson-fordelingen anvendes bedst til statistisk analyse, når den pågældende variabel er en tællevariabel. For eksempel hvor mange gange X forekommer baseret på en eller flere forklarende variable. For eksempel at estimere, hvor mange defekte produkter, der kommer fra et samlebånd, givet forskellige input.
Hvilke antagelser gør Poisson-fordelingen?
For at Poisson-fordelingen skal være nøjagtig, er alle hændelser uafhængige af hinanden, hastigheden af hændelser gennem tiden er konstant, og hændelser kan ikke forekomme samtidigt. Desuden vil middelværdien og variansen være lig med hinanden.
Er Poisson-fordelingen diskret eller kontinuerlig?
Fordi den måler diskrete tal, er Poisson-fordelingen også en diskret fordeling. Dette kan sammenlignes med normalfordelingen, som er kontinuerlig.
