Eulers Konstante

Was ist die Eulersche Zahl?

Die Eulersche Zahl ist ein mathematischer Ausdruck für die Basis des natürlichen Logarithmus. Es wird normalerweise durch den Buchstaben ** e ** dargestellt und wird häufig bei Problemen im Zusammenhang mit exponentiellem Wachstum oder Verfall verwendet.

Eine andere Möglichkeit, die Euler-Zahl zu interpretieren, ist die Basis für eine Exponentialfunktion, deren Wert immer gleich ihrer Ableitung ist. Mit anderen Worten, e ist die einzig mögliche Zahl, sodass ex mit einer Rate von ex für jedes mögliche x zunimmt.

Die Eulersche Zahl verstehen

Obwohl die Konstante allgemein mit Leonhard Euler in Verbindung gebracht wird, wurde sie erstmals 1683 von dem Mathematiker Jacob Bernoulli entdeckt. Bernoulli versuchte herauszufinden, wie das Vermögen wachsen würde, wenn die Zinsen öfter statt jährlich verzinst würden.

Stellen Sie sich vor, Sie verleihen Geld zu einem Zinssatz von 100 %, der jedes Jahr verzinst wird. Nach einem Jahr würde sich Ihr Geld verdoppeln. Aber was wäre, wenn der Zinssatz halbiert und doppelt so oft erhöht würde? Bei 50 % alle sechs Monate würde Ihr Geld in einem Jahr um 225 % wachsen. Je kleiner das Intervall wird, desto höher werden die Gesamtrenditen. Bernoulli fand heraus, dass, wenn die Zinsen n Mal pro Jahr mit einem Zinssatz von 100 %/n berechnet werden, das gesamte angesammelte Vermögen am Ende des ersten Jahres etwas größer als das 2,7-fache der ursprünglichen Investition wäre wenn n ausreichend groß ist.

Die Schlüsselarbeit rund um die Konstante wurde jedoch erst einige Jahrzehnte später von Leonhard Euler durchgeführt. In seiner Introductio in Analysin Infinitorum (1748) bewies Euler, dass die Konstante eine irrationale Zahl ist, deren Ziffern sich nie wiederholen würden. Er bewies auch, dass die Konstante als unendliche Summe inverser Fakultäten dargestellt werden kann:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ mal 3 \times 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span>~~

Euler verwendete den Buchstaben ** e ** für Exponenten, aber der Buchstabe wird jetzt weithin mit seinem Namen in Verbindung gebracht. Es wird häufig in einer Vielzahl von Anwendungen eingesetzt, vom Bevölkerungswachstum lebender Organismen bis zum radioaktiven Zerfall schwerer Elemente wie Uran durch Nuklearwissenschaftler. Es hat auch Anwendungen in Trigonometrie, Wahrscheinlichkeit und anderen Bereichen der angewandten Mathematik.

2.71828

Die ersten Ziffern der Euler-Zahl sind 2,71828..., obwohl die Zahl selbst eine nicht endende Reihe ist, die ewig weitergeht, wie Pi (3,1415...).

Eulersche Zahl im Finanzwesen: Zinseszins

Zinseszinsen wurden als „Wunder“ der Finanzen gefeiert, wobei Zinsen nicht nur auf ursprünglich investierte oder eingezahlte Beträge gutgeschrieben werden, sondern auch auf zuvor erhaltene Zinsen. Kontinuierliche Zinseszinsen werden erreicht, wenn Zinsen über eine unendlich kleine Zeiteinheit reinvestiert werden – und obwohl dies in der realen Welt praktisch unmöglich ist, ist dieses Konzept entscheidend für das Verständnis des Verhaltens vieler verschiedener Arten von Finanzinstrumenten, von Anleihen bis hin zu Derivatekontrakten.

Der Zinseszins ist auf diese Weise dem exponentiellen Wachstum ähnlich und wird durch die folgende Formel ausgedrückt:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text \&\text = \text \&e = \text{Euler’sche Konstante} \&r = \text \&t = \text \\end$

Wenn Sie also 1.000 US-Dollar hätten, die 2 % Zinsen mit kontinuierlicher Aufzinsung zahlen, hätten Sie nach 3 Jahren:

$$1.000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1.061.84$

Beachten Sie, dass dieser Betrag größer ist, als wenn der Aufzinsungszeitraum ein diskreter Zeitraum wäre, beispielsweise auf monatlicher Basis. In diesem Fall würde der Zinsbetrag anders berechnet: FV = PV(1+r/n)^nt, wobei n die Anzahl der Zinsperioden in einem Jahr ist (in diesem Fall 12):

$$1.000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ mal 3 } = $1.061,78$

diskreten Aufzinsung immer wertvoller .

Die Euler-Zahl (e) sollte nicht mit der Euler-Konstante verwechselt werden, die durch den Kleinbuchstaben Gamma (γ) gekennzeichnet ist. Letztere ist auch als Euler-Mascheroni-Konstante bekannt, bezieht sich auf harmonische Reihen und hat einen Wert von ungefähr 0,5772 ....

Das Endergebnis

Die Eulersche Zahl ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Es tritt häufig bei Problemen auf, die sich mit exponentiellem Wachstum oder Verfall befassen, bei denen die Wachstumsrate proportional zur vorhandenen Bevölkerung ist. Im Finanzwesen wird e auch in Berechnungen von Zinseszinsen verwendet, bei denen das Vermögen im Laufe der Zeit mit einer festgelegten Rate wächst.

Korrektur – 5. Dezember 2021: In einer früheren Version dieses Artikels wurde die Euler-Zahl fälschlicherweise mit der Euler-Konstante zusammengeführt.

Höhepunkte

Eine irrationale Zahl, gekennzeichnet durch e, Eulers Zahl ist 2,71828..., wobei die Ziffern endlos in einer Reihe weitergehen, die niemals endet oder sich wiederholt (ähnlich wie pi).

Im Finanzwesen wird die Eulersche Zahl verwendet, um zu berechnen, wie der Wohlstand aufgrund von Zinseszinsen wachsen kann.

Die Euler-Zahl wird überall verwendet, von der Erklärung des exponentiellen Wachstums bis zum radioaktiven Zerfall.

Die Eulersche Zahl ist eine wichtige Konstante, die in vielen Zusammenhängen vorkommt und die Basis für natürliche Logarithmen ist.

FAQ

Warum ist die Eulersche Zahl wichtig?

Die Eulersche Zahl taucht häufig bei Problemen im Zusammenhang mit Wachstum oder Verfall auf, bei denen die Änderungsrate durch den gegenwärtigen Wert der gemessenen Zahl bestimmt wird. Ein Beispiel ist die Biologie, wo sich Bakterienpopulationen in zuverlässigen Intervallen verdoppeln sollen. Ein weiterer Fall ist die radiometrische Datierung, bei der erwartet wird, dass die Anzahl der radioaktiven Atome über die festgelegte Halbwertszeit des zu messenden Elements abnimmt.

Was ist die Eulersche Zahl genau?

Vereinfacht gesagt ist die Eulersche Zahl die Basis einer Exponentialfunktion, deren Wachstumsrate immer proportional zu ihrem Barwert ist. Die Exponentialfunktion ex wächst immer mit einer Rate von ex, ein Merkmal, das auf andere Basen nicht zutrifft und das die Algebra rund um Exponenten und Logarithmen erheblich vereinfacht. Diese Zahl ist irrational, mit einem Wert von ungefähr 2,71828....

Wie wird die Euler-Zahl im Finanzwesen verwendet?

Die Eulersche Zahl taucht bei Problemen im Zusammenhang mit Zinseszinsen auf. Wenn eine Anlage über einen bestimmten Zeitraum einen festen Zinssatz bietet, kann der zukünftige Wert dieser Anlage leicht in Form von e berechnet werden.