ثابت أويلر

ما هو رقم أويلر؟

رقم أويلر هو تعبير رياضي لأساس اللوغاريتم الطبيعي. عادة ما يتم تمثيله بالحرف ** e ** ويستخدم بشكل شائع في المشاكل المتعلقة بالنمو الأسي أو الاضمحلال.

هناك طريقة أخرى لتفسير رقم أويلر وهي أن تكون أساسًا للدالة الأسية التي تساوي قيمتها دائمًا مشتقها. بمعنى آخر ، ** e ** هو الرقم الوحيد الممكن مثل أن ** ex ** تزداد بمعدل ** ex ** لكل ** x ** ممكن.

فهم رقم أويلر

على الرغم من ارتباطه بشكل شائع بليونهارد أويلر ، تم اكتشاف الثابت لأول مرة في عام 1683 من قبل عالم الرياضيات جاكوب برنولي. كان برنولي يحاول تحديد كيفية نمو الثروة إذا تضاعفت الفائدة في كثير من الأحيان ، بدلاً من أن تكون على أساس سنوي.

تخيل إقراض المال بمعدل فائدة 100٪ ، تتضاعف كل عام. بعد عام واحد ، سوف تتضاعف أموالك. ولكن ماذا لو تم تخفيض سعر الفائدة إلى النصف ، وتضاعف مرتين في كثير من الأحيان؟ بنسبة 50٪ كل ستة أشهر ، ستنمو أموالك بنسبة 225٪ في عام واحد. عندما يصبح الفاصل الزمني أصغر ، يصبح إجمالي العوائد أعلى قليلاً. وجد برنولي أنه إذا تم حساب الفائدة ** n ** مرة في السنة ، بمعدل 100٪ / ** n ** ، فإن إجمالي الثروة المتراكمة في نهاية السنة الأولى سيكون أكبر بقليل من 2.7 ضعف الاستثمار الأولي إذا كانت ** n ** كبيرة بدرجة كافية.

ومع ذلك ، لم يتم تنفيذ العمل الرئيسي المحيط بالثابت إلا بعد عدة عقود ، بواسطة ليونارد أويلر. في ** مقدمة في Analysin Infinitorum ** (1748) ، أثبت أويلر أن الثابت كان عددًا غير نسبي ، ولن تتكرر أرقامه أبدًا. أثبت أيضًا أن الثابت يمكن تمثيله كمجموع لا نهائي من العوامل العكسية:

$e = 1 + \ frac {1} {1} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {1 \ times 2 \ times 3} + \ frac {1} {1 \ times 2 \ مرات 3 \ مرات 4} + ... + \ فارك {1} {n! }$ 2 1 + 1 × 2 × 3 1 + 1 × 2 ~~× 3 × 4~~ ~~ ~~ ~~ 1~~ + . . . + n ! 1

استخدم أويلر الحرف ** e ** للتعبير عن الأسس ، لكن الحرف مرتبط الآن على نطاق واسع باسمه. يستخدم بشكل شائع في مجموعة واسعة من التطبيقات من النمو السكاني للكائنات الحية إلى التحلل الإشعاعي للعناصر الثقيلة مثل اليورانيوم بواسطة العلماء النوويين. كما أن لديها تطبيقات في علم المثلثات والاحتمالات ومجالات أخرى من الرياضيات التطبيقية.

2.71828

الأرقام الأولى من رقم أويلر هي 2.71828 ... ، على الرغم من أن الرقم نفسه عبارة عن سلسلة غير منتهية تستمر إلى الأبد ، مثل pi (3.1415 ...).

رقم أويلر في التمويل: الفائدة المركبة

بالفائدة المركبة على أنها "معجزة" للتمويل ، حيث يتم تقييد الفائدة ليس فقط المبالغ الأولية المستثمرة أو المودعة ، ولكن أيضًا على الفائدة المستلمة السابقة. يتم تحقيق الفائدة المركبة بشكل محدود عندما يتم إعادة استثمار الفائدة على مدى وحدة زمنية صغيرة للغاية - وبينما يكون هذا مستحيلًا عمليًا في العالم الحقيقي ، فإن هذا المفهوم ضروري لفهم سلوك العديد من الأنواع المختلفة من الأدوات المالية من السندات إلى عقود المشتقات.

الاهتمام المركب بهذه الطريقة يشبه النمو الأسي ، ويتم التعبير عنه بالصيغة التالية:

$start & amp؛ \ text = \ text e ^ \ & amp؛ \ textbf \ & a mp؛ \ text = \ text {القيمة المستقبلية} \ & amp؛ \ text = \ text {القيمة الحالية للرصيد أو المجموع} \ & amp؛ e = \ text {Euler & # x27؛ s Constant} \ & amp؛ r = \ text {معدل الفائدة يجري مركب} \ & amp؛ t = \ text {الوقت بالسنوات} \\ end$ FV = PV e r t حيث: FV = القيمة المستقبلية PV = القيمة الحالية للرصيد أو المجموع e = ثابت أويلر r = معدل الفائدة المركب t = الوقت بالسنوات 

لذلك ، إذا كان لديك 1000 دولار تدفع فائدة 2٪ مع مضاعفة مستمرة ، بعد 3 سنوات سيكون لديك:

$\ $ 1،000 \ times 2.71828 ^ {(.02 \ times 3)} = \ $ 1،061.84$ 2 . 7 1 8 2 8 ( . 0 2 × 3 ) = $ 1 ، 0 6 1 . 8 4

لاحظ أن هذا المبلغ أكبر مما لو كانت الفترة المركبة فترة منفصلة ، على سبيل المثال على أساس شهري. في هذه الحالة ، سيتم حساب مقدار الفائدة بشكل مختلف: FV = PV (1 + r / n) ^ nt ^ ، حيث n هو عدد الفترات المركبة في السنة (في هذه الحالة 12):

$\ $ 1،000 \ Big (1 + \ frac {12} \ Big) ^ {12 \ times 3} = \ $ 1،061.78$

هنا ، الفرق هو مجرد بضعة سنتات ، ولكن مع زيادة المبالغ لدينا ، تزداد أسعار الفائدة ، ويصبح مقدار الوقت أطول ، يصبح التركيب المستمر باستخدام ثابت أويلر أكثر قيمة بالنسبة للمركب المنفصل.

لا ينبغي الخلط بين رقم أويلر (هـ) وثابت أويلر ، الذي يُشار إليه بأحرف جاما الصغيرة (γ). يُعرف أيضًا باسم ثابت أويلر ماشيروني ، ويرتبط الأخير بالسلسلة التوافقية وله قيمة تقارب 0.5772 ....

الخط السفلي

يعتبر رقم أويلر من أهم الثوابت في الرياضيات. غالبًا ما يظهر في المشكلات التي تتعامل مع النمو الأسي أو الاضمحلال ، حيث يكون معدل النمو متناسبًا مع عدد السكان الحاليين. في التمويل ، تُستخدم ** e ** أيضًا في حسابات الفائدة المركبة ، حيث تنمو الثروة بمعدل محدد بمرور الوقت.

** تصحيح - 5 كانون الأول (ديسمبر) 2021: ** دمجت نسخة سابقة من هذه المقالة بشكل غير صحيح بين رقم أويلر وثابت أويلر.

يسلط الضوء

رقم غير نسبي يُشار إليه بواسطة ** e ، ** رقم أويلر هو 2.71828 ... ، حيث تستمر الأرقام إلى الأبد في سلسلة لا تنتهي أو تتكرر أبدًا (على غرار pi).

في التمويل ، يتم استخدام رقم أويلر لحساب كيف يمكن للثروة أن تنمو بسبب الفائدة المركبة.

يُستخدم رقم أويلر في كل شيء بدءًا من شرح النمو الأسي وانتهاءً بالتحلل الإشعاعي.

رقم أويلر ثابت مهم يوجد في العديد من السياقات وهو أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

التعليمات

لماذا رقم أويلر مهم؟

يظهر رقم أويلر بشكل متكرر في المشكلات المتعلقة بالنمو أو الاضمحلال ، حيث يتم تحديد معدل التغيير بالقيمة الحالية للرقم الذي يتم قياسه. أحد الأمثلة في علم الأحياء ، حيث من المتوقع أن تتضاعف أعداد البكتيريا على فترات موثوقة. حالة أخرى هي التأريخ الإشعاعي ، حيث من المتوقع أن ينخفض عدد الذرات المشعة على مدى نصف العمر الثابت للعنصر الذي يتم قياسه.

ما هو رقم أويلر بالضبط؟

ببساطة ، رقم أويلر هو أساس دالة أسية يكون معدل نموها دائمًا متناسبًا مع قيمتها الحالية. تنمو الدالة الأسية ** ex ** دائمًا بمعدل ** ex ** ، وهي ميزة لا تنطبق على القواعد الأخرى وتعمل على تبسيط الجبر المحيط بأسس ولوغاريتمات إلى حد كبير. هذا الرقم غير منطقي بقيمة تقارب 2.71828 ....

كيف يتم استخدام رقم أويلر في التمويل؟

يظهر رقم أويلر في المشاكل المتعلقة بالفائدة المركبة. عندما يقدم استثمار سعر فائدة ثابتًا على مدى فترة زمنية ، يمكن بسهولة حساب القيمة المستقبلية لذلك الاستثمار من حيث ** e **.