Постоянная Эйлера

Бизнес Корпоративные финансы и бухгалтерский учет Финансовый анализ

Что такое число Эйлера?

Число Эйлера — это математическое выражение основания натурального логарифма. Обычно он обозначается буквой e и обычно используется в задачах, связанных с экспоненциальным ростом или затуханием.

Другой способ интерпретировать число Эйлера — использовать его как основу для экспоненциальной функции, значение которой всегда равно ее производной. Другими словами, e — единственное возможное число, при котором ex увеличивается со скоростью ex для каждого возможного x.

Понимание числа Эйлера

Хотя эта константа обычно ассоциируется с Леонардом Эйлером, она была впервые открыта в 1683 году математиком Якобом Бернулли. Бернулли пытался определить, как росло бы богатство, если бы проценты начислялись чаще, а не ежегодно.

Представьте, что вы даете деньги взаймы под 100% процентную ставку, начисляемую каждый год. Через год ваши деньги удвоятся. Но что, если бы процентная ставка была снижена вдвое и начислялась бы в два раза чаще? При 50% каждые шесть месяцев ваши деньги вырастут на 225% за год. По мере того, как интервал становится меньше, общая доходность становится немного выше. Бернулли обнаружил, что если проценты рассчитываются n раз в год по ставке 100%/n, общее накопленное богатство в конце первого года будет немного больше, чем в 2,7 раза превышать первоначальные инвестиции. если n достаточно велико.

Однако ключевая работа, связанная с константой, была выполнена Леонардом Эйлером лишь несколько десятилетий спустя. В своем «Introductio in Analysin Infinitorum» (1748 г.) Эйлер доказал, что константа является иррациональным числом, цифры которого никогда не повторяются. Он также доказал, что константу можно представить в виде бесконечной суммы обратных факториалов:

$e = 1 + \ frac { 1 }{ 1 } + \ frac { 1 }{ 2 } + \ frac { 1 }{ 1 \ times 2 \ times 3 } + \ frac {1 }{ 1 \ times 2 \ раз 3 \раз 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ диапазон></промежуток></промежуток></промежуток></промежуток>~~

Эйлер использовал букву e для показателей степени, но теперь эта буква широко ассоциируется с его именем. Он обычно используется в самых разных областях, от роста популяции живых организмов до радиоактивного распада тяжелых элементов, таких как уран, учеными-ядерщиками. Он также имеет приложения в тригонометрии, вероятности и других областях прикладной математики.

2.71828

Первые цифры числа Эйлера — 2,71828..., хотя само число представляет собой непрерывный ряд, который продолжается вечно, как пи (3,1415...).

Число Эйлера в финансах: сложные проценты

Сложные проценты были провозглашены «чудом» финансов, когда проценты начисляются не только на первоначальные суммы инвестиций или депозитов, но и на ранее полученные проценты. Непрерывное начисление процентов достигается, когда проценты реинвестируются в течение бесконечно малой единицы времени, и хотя в реальном мире это практически невозможно, эта концепция имеет решающее значение для понимания поведения многих различных типов финансовых инструментов, от облигаций до контрактов на деривативы.

Таким образом, сложный процент сродни экспоненциальному росту и выражается следующей формулой:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf{где:} \&a mp;\text = \text{Будущая стоимость} \&\text = \text{Текущая стоимость баланса или суммы} \&e = \text{Константа Эйлера} \&r = \text{Процентная ставка начисляется} \&t = \text{Время в годах} \\end$

Следовательно, если бы у вас было 1000 долларов с выплатой 2% годовых с непрерывным начислением процентов, через 3 года у вас было бы:

$$1,000 \times 2,71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061,84$

Обратите внимание, что эта сумма больше, чем если бы период начисления сложных процентов был дискретным периодом, скажем, ежемесячно. В этом случае сумма процентов будет рассчитываться по-другому: FV = PV(1+r/n)^nt, где n — количество периодов начисления сложных процентов в году (в данном случае 12):

$$1,000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ раз 3 } = $1061,78$

Здесь разница составляет всего несколько центов, но по мере того, как наши суммы становятся больше, процентные ставки становятся выше, а количество времени увеличивается, непрерывное начисление процентов с использованием константы Эйлера становится все более и более ценным по сравнению с дискретным начислением процентов.

Число Эйлера (e) не следует путать с постоянной Эйлера, обозначаемой строчной гаммой (γ). Также известная как постоянная Эйлера-Маскерони, последняя связана с гармоническим рядом и имеет значение приблизительно 0,5772....

Нижняя линия

Число Эйлера — одна из важнейших констант в математике. Он часто появляется в задачах, связанных с экспоненциальным ростом или спадом, где скорость роста пропорциональна существующему населению. В финансах e также используется при расчете сложных процентов, когда богатство растет с заданной скоростью с течением времени.

** Исправление от 5 декабря 2021 г. ** В более ранней версии этой статьи число Эйлера было неправильно объединено с константой Эйлера.

Особенности

Иррациональное число, обозначаемое e, Число Эйлера равно 2,71828..., где цифры продолжаются вечно в ряду, который никогда не заканчивается и не повторяется (аналогично числу пи).

В финансах число Эйлера используется для расчета того, как может вырасти богатство за счет сложных процентов.

Число Эйлера используется везде, от объяснения экспоненциального роста до радиоактивного распада.

Число Эйлера — важная константа, которая встречается во многих контекстах и является основой для натуральных логарифмов.

ЧАСТО ЗАДАВАЕМЫЕ ВОПРОСЫ

Почему важно число Эйлера?

Число Эйлера часто появляется в задачах, связанных с ростом или убыванием, где скорость изменения определяется текущим значением измеряемого числа. Одним из примеров является биология, где ожидается удвоение популяции бактерий через определенные промежутки времени. Другим случаем является радиометрическое датирование, когда ожидается, что количество радиоактивных атомов уменьшится в течение фиксированного периода полураспада измеряемого элемента.

Что такое число Эйлера?

Проще говоря, число Эйлера является основанием экспоненциальной функции, скорость роста которой всегда пропорциональна ее текущему значению. Экспоненциальная функция ex всегда растет со скоростью ex, что не относится к другим основаниям и значительно упрощает алгебру, связанную с показателями степени и логарифмами. Это число иррациональное, его значение приблизительно равно 2,71828....

Как число Эйлера используется в финансах?

Число Эйлера появляется в задачах, связанных со сложными процентами. Всякий раз, когда инвестиция предлагает фиксированную процентную ставку в течение определенного периода времени, будущая стоимость этой инвестиции может быть легко рассчитана с точки зрения e.