欧拉常数

欧拉数是多少？

欧拉数是自然对数底的数学表达式。它通常由字母 e 表示，通常用于与指数增长或衰减有关的问题。

解释欧拉数的另一种方法是作为指数函数的基础，其值始终等于其导数。换句话说，e 是唯一可能的数字，使得 ex 对于每个可能的 x 都以 ex 的速率增加。

了解欧拉数

尽管通常与莱昂哈德·欧拉有关，但该常数于 1683 年由数学家雅各布·伯努利首次发现。伯努利试图确定如果更频繁地复利而不是每年复利，财富将如何增长。

想象一下以 100% 的利率贷款，每年复利。一年后，你的钱会翻倍。但是，如果利率减半，复利次数增加一倍呢？每六个月增长 50%，你的钱将在一年内增长 225%。随着间隔变小，总回报会略高。伯努利发现，如果每年计算 n 次，以 100%/n 的利率计算，第一年年底的总增值财富将略大于初始投资的 2.7 倍如果 n 足够大。

然而，直到几十年后，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）才完成了围绕常数的关键工作。在他的Introductio in Analysin Infinitorum (1748) 中，欧拉证明了常数是一个无理数，其数字永远不会重复。他还证明了常数可以表示为逆阶乘的无限和：

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \乘以 3 \times 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></跨度>~~

Euler 使用字母 e 表示指数，但现在该字母已广泛与他的名字相关联。它通常用于广泛的应用，从活生物体的种群增长到核科学家对铀等重元素的放射性衰变。它还应用于三角学、概率和其他应用数学领域。

2.71828

欧拉数的第一个数字是 2.71828...，虽然这个数字本身是一个永远存在的非终止级数，例如 pi (3.1415...)。

金融中的欧拉数：复利

复利被誉为金融的“奇迹”，利息不仅记入投资或存入的初始金额，还记入先前收到的利息。当利息在无限小的时间单位内进行再投资时，就会实现连续复利 ——虽然这在现实世界中实际上是不可能的，但这一概念对于理解从债券到衍生品合约等许多不同类型金融工具的行为至关重要。

这种方式的复利类似于指数增长，并由以下公式表示：

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text{未来值} \&\text = \text{余额或总和的现值} \&e = \text{欧拉常数} \&r = \text{利率复利} \&t = \text{时间以年为单位} \\end{对齐}$

因此，如果您有 1,000 美元支付 2% 的利息并连续复利，那么 3 年后您将拥有：

$$1,000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061.84$

请注意，此金额大于复利期为离散期（例如按月计算）的情况。在这种情况下，利息金额的计算方式会有所不同：FV = PV(1+r/n)^nt，其中 n 是一年中的复利期数（在本例中为 12）：

$$1,000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \乘以 3 } = $1,061.78$

在这里，差异只有几美分，但随着我们的总和越来越大，利率越来越高，时间越来越长，使用欧拉常数的连续复利相对于离散复利变得越来越有价值。

欧拉数 (e) 不应与欧拉常数混淆，欧拉常数用小写字母 gamma (γ) 表示。也称为 Euler-Mascheroni 常数，后者与谐波级数有关，其值约为 0.5772....

底线

欧拉数是数学中最重要的常数之一。它经常出现在处理指数增长或衰减的问题中，其中增长率与现有人口成正比。在金融中，e 也用于计算复利，其中财富随着时间的推移以设定的速度增长。

更正 - 2021 年 12 月 5 日： 本文的早期版本错误地将欧拉数与欧拉常数混为一谈。

＃＃强调

一个由 e 表示的无理数， 欧拉数是 2.71828...，其中的数字在一个永远不会结束或重复的序列中永远存在（类似于 pi）。

在金融领域，欧拉数用于计算财富如何因复利而增长。

欧拉数用于从解释指数增长到放射性衰变的一切。

欧拉数是一个重要的常数，在许多情况下都可以找到，它是自然对数的基础。

＃＃常问问题

为什么欧拉数很重要？

欧拉数经常出现在与增长或衰减有关的问题中，其中变化率由被测量数字的现值决定。一个例子是生物学，其中细菌种群预计会以可靠的时间间隔翻倍。另一种情况是辐射测年，其中放射性原子的数量预计会在被测元素的固定半衰期内下降。

欧拉数到底是多少？

简单地说，欧拉数是指数函数的底，其增长率总是与其现值成正比。指数函数 ex 总是以 ex 的速率增长，这是其他基不成立的特征，并且极大地简化了围绕指数和对数的代数。这个数字是不合理的，其值约为 2.71828....

欧拉数如何在金融中使用？

欧拉数出现在与复利相关的问题中。每当一项投资在一段时间内提供固定利率时，该投资的未来价值就可以很容易地用e来计算。