Eulerin vakio

Mikä on Eulerin numero?

Eulerin luku on luonnollisen logaritmin kannan matemaattinen lauseke. Sitä edustaa yleensä kirjain e ja sitä käytetään yleisesti eksponentiaaliseen kasvuun tai rappeutumiseen liittyvissä ongelmissa.

Toinen tapa tulkita Eulerin luku on perustana eksponentiaaliselle funktiolle, jonka arvo on aina yhtä suuri kuin sen derivaatta. Toisin sanoen e on ainoa mahdollinen luku, jossa ex kasvaa nopeudella ex jokaisella mahdollisella x:lla.

Eulerin luvun ymmärtäminen

Vaikka vakio yhdistetään yleisesti Leonhard Euleriin, matemaatikko Jacob Bernoulli löysi sen ensimmäisen kerran vuonna 1683. Bernoulli yritti määrittää, kuinka varallisuus kasvaisi, jos korkoa korotettaisiin useammin, ei vuosittain.

Kuvittele lainaamassa rahaa 100 %:n korolla, jota korotetaan joka vuosi. Vuoden kuluttua rahasi tuplaantuisi. Mutta entä jos korkoa leikattaisiin puoleen ja korotettaisiin kaksi kertaa niin usein? Kun maksat 50 % kuuden kuukauden välein, rahasi kasvaisi 225 % vuodessa. Kun väli pienenee, kokonaistuotto kasvaa hieman. Bernoulli havaitsi, että jos korko lasketaan n kertaa vuodessa, korolla 100 %/n, kertynyt kokonaisvarallisuus ensimmäisen vuoden lopussa olisi hieman suurempi kuin 2,7 kertaa alkuinvestointi. jos n on riittävän suuri.

Vakiota ympäröivä avaintyö suoritettiin kuitenkin vasta useita vuosikymmeniä myöhemmin Leonhard Euler. Euler osoitti teoksessaan Introductio in Analysin Infinitorum (1748), että vakio oli irrationaalinen luku, jonka numerot eivät koskaan toistuisi. Hän osoitti myös, että vakio voidaan esittää käänteistekijöiden äärettömänä summana:

$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3} <annotation encoding="application/x-tex" ">e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ kertaa 3 \kertaa 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span >~~

Euler käytti kirjainta e eksponentteina, mutta kirjain liitetään nyt laajalti hänen nimeensä. Sitä käytetään yleisesti monenlaisissa sovelluksissa elävien organismien populaation kasvusta raskaiden alkuaineiden, kuten uraanin, radioaktiiviseen hajoamiseen ydintutkijoilta. Sillä on myös sovelluksia trigonometriassa, todennäköisyyslaskentassa ja muilla soveltavan matematiikan aloilla.

2.71828

Eulerin luvun ensimmäiset numerot ovat 2,71828..., vaikka itse luku on loputon sarja, joka jatkuu ikuisesti, kuten pi (3,1415...).

Eulerin numero rahoituksessa: korkokorko

Korkokorkoa on pidetty rahoituksen "ihmeenä", jolloin korkoa ei hyvitetä vain alkuperäisille sijoitetuille tai talletetuille määrille, vaan myös aikaisemmille korkoille. Jatkuvasti nouseva korko saavutetaan, kun korko sijoitetaan uudelleen äärettömän pienessä aikayksikössä – ja vaikka tämä on käytännössä mahdotonta, tämä käsite on ratkaisevan tärkeä monien erilaisten rahoitusvälineiden käyttäytymisen ymmärtämiseksi joukkovelkakirjoista johdannaissopimuksiin.

Yhdistelmäkorko on tällä tavalla kuin eksponentiaalinen kasvu, ja se ilmaistaan seuraavalla kaavalla:

$\begin&\teksti = \teksti e ^ \&\textbf \&a mp;\teksti = \teksti \&\teksti = \teksti \&e = \text '$

Huomaa, että tämä määrä on suurempi kuin jos yhdistämisjakso olisi erillinen ajanjakso, esimerkiksi kuukausittain. Tässä tapauksessa koron määrä laskettaisiin eri tavalla: FV = PV(1+r/n)^nt, missä n on korkojaksojen lukumäärä vuodessa (tässä tapauksessa 12):

$$1 000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ kertaa 3 } = $1 061,78$

Tässä ero on vain muutaman sentin kysymys, mutta kun summamme kasvavat, korot nousevat ja aika pitenee, jatkuva yhdistäminen Eulerin vakiolla tulee yhä arvokkaammaksi suhteessa diskreettiin yhdistämiseen.

Eulerin lukua (e) ei pidä sekoittaa Eulerin vakioon, jota merkitään pienellä gammalla (γ). Tunnetaan myös Euler-Mascheroni-vakiona, jälkimmäinen liittyy harmonisiin sarjoihin ja sen arvo on noin 0,5772....

Bottom Line

Eulerin luku on yksi matematiikan tärkeimmistä vakioista. Se ilmenee usein eksponentiaalista kasvua tai rappeutumista koskevissa ongelmissa, joissa kasvunopeus on suhteessa olemassa olevaan väestöön. Rahoituksessa e:ta käytetään myös koronkoron laskennassa, jossa varallisuus kasvaa määrättyä tahtia ajan myötä.

Korjaus – 5.12.2021: Tämän artikkelin aiempi versio sekoitti Eulerin luvun väärin Eulerin vakioon.

##Kohokohdat

Irrationaalinen luku, jota merkitään e, Eulerin luku on 2,71828..., jossa numerot jatkuvat ikuisesti sarjassa, joka ei koskaan pääty tai toistu (samanlainen kuin pi).

Rahoituksessa Eulerin numerolla lasketaan, kuinka varallisuus voi kasvaa korkokorkojen ansiosta.

Eulerin lukua käytetään kaikessa eksponentiaalisen kasvun selittämisestä radioaktiiviseen hajoamiseen.

Eulerin luku on tärkeä vakio, joka löytyy monista yhteyksistä ja on luonnollisten logaritmien perusta.

##UKK

Miksi Eulerin luku on tärkeä?

Eulerin luku esiintyy usein kasvuun tai heikkenemiseen liittyvissä ongelmissa, joissa muutosnopeus määräytyy mitattavan luvun nykyarvon mukaan. Yksi esimerkki on biologia, jossa bakteeripopulaatioiden odotetaan kaksinkertaistuvan luotettavin väliajoin. Toinen tapaus on radiometrinen päivämäärä, jossa radioaktiivisten atomien lukumäärän odotetaan laskevan mitattavan alkuaineen kiinteän puoliintumisajan aikana.

Mikä on Eulerin luku tarkalleen?

Yksinkertaisesti sanottuna Eulerin luku on eksponentiaalisen funktion kanta, jonka kasvunopeus on aina verrannollinen sen nykyarvoon. Eksponentiaalinen funktio ex kasvaa aina nopeudella ex, ominaisuus, joka ei päde muihin kantoihin ja joka yksinkertaistaa huomattavasti eksponenteja ja logaritmeja ympäröivää algebraa. Tämä luku on irrationaalinen, ja sen arvo on noin 2,71828....

Miten Eulerin numeroa käytetään rahoituksessa?

Eulerin luku esiintyy koronkorkoon liittyvissä ongelmissa. Aina kun sijoitus tarjoaa kiinteän koron tietylle ajanjaksolle, sijoituksen tuleva arvo voidaan helposti laskea e:na.