Eulers konstant

Vad är Eulers nummer?

Eulers tal är ett matematiskt uttryck för basen av den naturliga logaritmen. Det representeras vanligtvis av bokstaven e och används ofta i problem som rör exponentiell tillväxt eller förfall.

Ett annat sätt att tolka Eulers tal är som bas för en exponentialfunktion vars värde alltid är lika med dess derivata. Med andra ord, e är det enda möjliga talet så att ex ökar med en hastighet av ex för varje möjlig x.

Förstå Eulers nummer

Även om den ofta förknippas med Leonhard Euler, upptäcktes konstanten först 1683 av matematikern Jacob Bernoulli. Bernoulli försökte avgöra hur välståndet skulle växa om räntan ökades oftare, istället för på årsbasis.

Föreställ dig att låna ut pengar till 100 % ränta som förvärras varje år. Efter ett år skulle dina pengar fördubblas. Men tänk om räntan halverades och förvärrades dubbelt så ofta? Med 50 % var sjätte månad skulle dina pengar växa med 225 % på ett år. När intervallet blir mindre blir totalavkastningen något högre. Bernoulli fann att om räntan beräknas n gånger per år, med en ränta på 100%/n, skulle den totala förmögenheten vid slutet av det första året vara något större än 2,7 gånger den initiala investeringen om n är tillräckligt stort.

Nyckelverket kring konstanten utfördes dock inte förrän flera decennier senare, av Leonhard Euler. I sin Introductio in Analysin Infinitorum (1748) bevisade Euler att konstanten var ett irrationellt tal, vars siffror aldrig skulle upprepas. Han bevisade också att konstanten kan representeras som en oändlig summa av inversa faktorialer:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ gånger 3 \times 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span >~~

Euler använde bokstaven e för exponenter, men bokstaven är nu allmänt förknippad med hans namn. Det används ofta i ett brett spektrum av tillämpningar från befolkningstillväxt av levande organismer till radioaktivt sönderfall av tunga grundämnen som uran av kärnkraftsforskare. Den har också tillämpningar inom trigonometri, sannolikhet och andra områden av tillämpad matematik.

2,71828

De första siffrorna i Eulers nummer är 2,71828..., även om numret i sig är en icke-avslutande serie som fortsätter för evigt, som pi (3,1415...).

Eulers nummer inom finans: Räntesats

Sammansatt ränta har hyllats som ett finansiellt "mirakel", där ränta krediteras inte bara initiala belopp som investerats eller insatts, utan även på tidigare mottagna räntor. Kontinuerligt sammansatt ränta uppnås när ränta återinvesteras över en oändligt liten tidsenhet – och även om detta är praktiskt taget omöjligt i den verkliga världen, är detta koncept avgörande för att förstå beteendet hos många olika typer av finansiella instrument från obligationer till derivatkontrakt.

Sammansatt ränta på detta sätt liknar exponentiell tillväxt och uttrycks med följande formel:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf{där:} \&a mp;\text = \text{Framtida värde} \&\text = \text{Nuvarande värde på saldo eller summa} \&e = \text \&r = \text{Räntesatsen sammansatt} \&t = \text{Tid i år} \\end$

Därför, om du hade 1 000 USD som betalade 2 % ränta med kontinuerlig sammansättning, skulle du efter 3 år ha:

$$1 000 \times 2,71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1 061,84$

Observera att detta belopp är större än om sammansättningsperioden var en diskret period, säg på månadsbasis. I det här fallet skulle räntebeloppet beräknas annorlunda: FV = PV(1+r/n)^nt, där n är antalet sammansättningsperioder under ett år (i detta fall 12):

$$1 000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ gånger 3 } = $1 061,78$

Här är skillnaden bara en fråga om några få cent, men när våra summor blir större, räntorna blir högre och tiden blir längre, blir kontinuerlig sammansättning med Eulers konstant mer och mer värdefull i förhållande till diskret sammansättning.

Eulers tal (e) ska inte förväxlas med Eulers konstant, betecknad med gemener gamma (γ). Även känd som Euler-Mascheroni-konstanten, den senare är relaterad till övertonsserier och har ett värde på ungefär 0,5772....

Poängen

Eulers tal är en av de viktigaste konstanterna i matematik. Det dyker ofta upp i problem som handlar om exponentiell tillväxt eller förfall, där tillväxttakten står i proportion till den befintliga befolkningen. Inom finans används e även vid beräkningar av sammansatt ränta, där förmögenheten växer i en bestämd takt över tiden.

Rättelse – 5 december 2021: En tidigare version av den här artikeln blandade felaktigt Eulers tal med Eulers konstant.

##Höjdpunkter

Ett irrationellt tal betecknat med e, Eulers tal är 2,71828..., där siffrorna fortsätter för evigt i en serie som aldrig slutar eller upprepas (liknar pi).

– Inom finans används Eulers tal för att beräkna hur välståndet kan växa på grund av sammansatt ränta.

– Eulers tal används i allt från att förklara exponentiell tillväxt till radioaktivt sönderfall.

– Eulers tal är en viktig konstant som finns i många sammanhang och är basen för naturliga logaritmer.

##FAQ

Varför är Eulers nummer viktigt?

Eulers nummer förekommer ofta i problem relaterade till tillväxt eller förfall, där förändringshastigheten bestäms av nuvärdet av det antal som mäts. Ett exempel är inom biologin, där bakteriepopulationer förväntas fördubblas med tillförlitliga intervall. Ett annat fall är radiometrisk datering, där antalet radioaktiva atomer förväntas minska under den fasta halveringstiden för grundämnet som mäts.

Vad är Eulers nummer exakt?

Enkelt uttryckt är Eulers tal basen för en exponentiell funktion vars tillväxttakt alltid är proportionell mot dess nuvärde. Exponentialfunktionen ex växer alltid med en hastighet av ex, en egenskap som inte stämmer med andra baser och en som avsevärt förenklar algebran kring exponenter och logaritmer. Detta nummer är irrationellt, med ett värde på cirka 2,71828....

Hur används Eulers nummer i finans?

Eulers nummer förekommer i problem relaterade till sammansatt ränta. Närhelst en investering erbjuder en fast ränta över en tidsperiod, kan det framtida värdet av den investeringen enkelt beräknas i termer av e.