यूलर का कॉन्स्टेंट

यूलर की संख्या क्या है?

यूलर की संख्या प्राकृतिक लघुगणक के आधार के लिए एक गणितीय व्यंजक है। यह आमतौर पर ई अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है और आमतौर पर घातीय वृद्धि या क्षय से संबंधित समस्याओं में इसका उपयोग किया जाता है।

यूलर की संख्या की व्याख्या करने का एक अन्य तरीका एक घातीय फ़ंक्शन के आधार के रूप में है जिसका मूल्य हमेशा इसके व्युत्पन्न के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, e ही एकमात्र संभावित संख्या है, जिससे ex हर संभव x के लिए ex की दर से बढ़ता है।

यूलर की संख्या को समझना

हालांकि आमतौर पर लियोनहार्ड यूलर के साथ जुड़ा हुआ है, स्थिरांक की खोज पहली बार 1683 में गणितज्ञ जैकब बर्नौली ने की थी। बर्नौली यह निर्धारित करने की कोशिश कर रहा था कि अगर वार्षिक आधार पर ब्याज को अधिक बार संयोजित किया जाए तो धन कैसे बढ़ेगा।

कल्पना कीजिए कि हर साल 100% ब्याज दर पर पैसा उधार दिया जाता है। एक साल बाद आपका पैसा दोगुना हो जाएगा। लेकिन क्या होगा अगर ब्याज दर को आधा कर दिया जाए, और दो बार चक्रवृद्धि की जाए? हर छह महीने में 50% की दर से, आपका पैसा एक साल में 225% बढ़ जाएगा। जैसे-जैसे अंतराल छोटा होता जाता है, कुल रिटर्न थोड़ा अधिक होता जाता है। बर्नौली ने पाया कि यदि ब्याज की गणना n प्रति वर्ष, 100%/n की दर से की जाती है, तो पहले वर्ष के अंत में कुल अर्जित धन प्रारंभिक निवेश के 2.7 गुना से थोड़ा अधिक होगा यदि n पर्याप्त रूप से बड़ा है।

हालांकि, लियोनहार्ड यूलर द्वारा कई दशकों बाद तक स्थिरांक के आसपास का मुख्य कार्य नहीं किया गया था। अपने Introductio in Analysin Infinitorum (1748) में, यूलर ने साबित किया कि स्थिरांक एक अपरिमेय संख्या है, जिसके अंक कभी भी दोहराए नहीं जाएंगे। उन्होंने यह भी साबित किया कि स्थिरांक को व्युत्क्रम भाज्य के अनंत योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{1 \times 2 \times 3}$ < स्पैन क्लास="mclose nulldelimiter">+।।।+ n! 1 < अवधि class="vlist" style="height:0.345em;">

यूलर ने घातांकों के लिए ई अक्षर का प्रयोग किया, लेकिन यह पत्र अब उनके नाम के साथ व्यापक रूप से जुड़ा हुआ है। यह आमतौर पर जीवित जीवों की जनसंख्या वृद्धि से लेकर परमाणु वैज्ञानिकों द्वारा यूरेनियम जैसे भारी तत्वों के रेडियोधर्मी क्षय तक अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला में उपयोग किया जाता है। इसमें त्रिकोणमिति, संभाव्यता और अनुप्रयुक्त गणित के अन्य क्षेत्रों में भी अनुप्रयोग हैं।

2.71828

यूलर की संख्या के पहले अंक 2.71828... हैं, हालांकि संख्या स्वयं एक गैर-समाप्ति श्रृंखला है जो हमेशा के लिए चलती है, जैसे पीआई (3.1415...)।

वित्त में यूलर की संख्या: चक्रवृद्धि ब्याज

चक्रवृद्धि ब्याज को वित्त का एक "चमत्कार" कहा गया है, जिसमें ब्याज न केवल निवेश की गई या जमा की गई प्रारंभिक राशि, बल्कि प्राप्त पिछले ब्याज पर भी जमा किया जाता है। निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज तब प्राप्त होता है जब ब्याज को समय की एक अनंत छोटी इकाई में पुनर्निवेशित किया जाता है - और जबकि वास्तविक दुनिया में यह व्यावहारिक रूप से असंभव है, यह अवधारणा बांड से लेकर डेरिवेटिव अनुबंधों तक कई अलग-अलग प्रकार के वित्तीय साधनों के व्यवहार को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।

इस तरह से चक्रवृद्धि ब्याज घातीय वृद्धि के समान है, और इसे निम्न सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

$\begin{aligned} FV = PV e^{r t} & </mtr & कहाँ: & FV = भविष्य का मूल्य & < /mtd> PV = वर्तमान मान शेष राशि या राशि & e = यूलर का स्थिरांक & r = ब्याज दर बढ़ रही है & t = वर्षों में समय \end{aligned}}&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text{भविष्य का मूल्य} \&\text = \text{बैलेंस या योग का वर्तमान मूल्य} \&e = \text{Euler's स्थिरांक} \&r = \text{ब्याज दर चक्रवृद्धि} \&t = \text{वर्षों में समय} \\end$

इसलिए, यदि आपके पास निरंतर चक्रवृद्धि के साथ 2% ब्याज का भुगतान करने वाला $1,000 था, तो 3 वर्षों के बाद आपके पास होगा:

$$ 1 <mo विभाजक="true">, 000 \times 2.7182 8^{(. 02 mn>\times3)} = $ 1 <mo विभाजक="true">, 061.84 <annotationencode="application/ x-tex">$1,000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061.84$ $1,000× 2।71828 (।02×3)=$1,061।< स्पैन क्लास="mord">84

ध्यान दें कि यदि चक्रवृद्धि अवधि एक असतत अवधि थी, जैसे मासिक आधार पर यह राशि अधिक है। इस मामले में, ब्याज की राशि की गणना अलग तरीके से की जाएगी: FV = PV(1+r/n)^nt, जहां n एक वर्ष में चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है (इस मामले में 12):

$$ 1 <mo विभाजक="true">, 000 <mo बाड़ = "गलत">(1 + \frac{. 02}{12} {<mo बाड़="false">)}^{12 \times 3< /mn>} = $ 1 <mo विभाजक="सच">,< /mo> 061.78 <एनोटेशन एन्कोडिंग="एप्लिकेशन/एक्स-टेक्स">$1,000 \बड़ा ( 1 + \frac { 12 } \बड़ा ) ^ { 12 \ टाइम्स 3 } = $1,061.78$ )12×3 =< स्पैन क्लास = "एमस्पेस" स्टाइल = "मार्जिन-राइट: 0.27777777777777778em;"> $1, span>061.78

यहां, अंतर केवल कुछ सेंट का है, लेकिन जैसे-जैसे हमारी रकम बड़ी होती जाती है, ब्याज दरें अधिक होती जाती हैं, और समय की मात्रा लंबी होती जाती है, यूलर के स्थिरांक का उपयोग करते हुए निरंतर चक्रवृद्धि असतत चक्रवृद्धि के सापेक्ष अधिक से अधिक मूल्यवान हो जाती है ।

यूलर की संख्या (ई) को यूलर के स्थिरांक के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जिसे लोअर केस गामा (γ) द्वारा दर्शाया गया है। यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है, उत्तरार्द्ध हार्मोनिक श्रृंखला से संबंधित है और इसका मान लगभग 0.5772 है।

तल - रेखा

यूलर की संख्या गणित में सबसे महत्वपूर्ण स्थिरांकों में से एक है। यह अक्सर घातीय वृद्धि या क्षय से संबंधित समस्याओं में प्रकट होता है, जहां विकास की दर मौजूदा जनसंख्या के अनुपात में होती है। वित्त में, ई का उपयोग चक्रवृद्धि ब्याज की गणना में भी किया जाता है, जहां धन समय के साथ एक निर्धारित दर से बढ़ता है।

सुधार–5 दिसंबर, 2021: इस लेख के एक पुराने संस्करण में यूलर की संख्या को यूलर के स्थिरांक के साथ गलत तरीके से जोड़ा गया था।

##हाइलाइट

एक अपरिमेय संख्या जिसे ई, यूलर की संख्या 2.71828... द्वारा दर्शाया जाता है, जहां अंक हमेशा के लिए एक श्रृंखला में चलते हैं जो कभी समाप्त नहीं होता है या दोहराता नहीं है (पाई के समान)।

वित्त में, यूलर की संख्या का उपयोग यह गणना करने के लिए किया जाता है कि चक्रवृद्धि ब्याज के कारण धन कैसे बढ़ सकता है।

एक्सपोनेंशियल ग्रोथ को समझाने से लेकर रेडियोधर्मी क्षय तक हर चीज में यूलर नंबर का इस्तेमाल किया जाता है।

यूलर की संख्या एक महत्वपूर्ण स्थिरांक है जो कई संदर्भों में पाया जाता है और प्राकृतिक लघुगणक का आधार है।

##सामान्य प्रश्न

यूलर की संख्या क्यों महत्वपूर्ण है?

यूलर की संख्या अक्सर वृद्धि या क्षय से संबंधित समस्याओं में प्रकट होती है, जहां परिवर्तन की दर मापी जा रही संख्या के वर्तमान मूल्य से निर्धारित होती है। एक उदाहरण जीव विज्ञान में है, जहां बैक्टीरिया की आबादी विश्वसनीय अंतराल पर दोगुनी होने की उम्मीद है। एक अन्य मामला रेडियोमेट्रिक डेटिंग है, जहां मापा जा रहा तत्व के निश्चित आधे जीवन में रेडियोधर्मी परमाणुओं की संख्या में गिरावट की उम्मीद है।

यूलर की संख्या वास्तव में क्या है?

सीधे शब्दों में कहें तो, यूलर की संख्या एक घातीय फलन का आधार है जिसकी वृद्धि दर हमेशा इसके वर्तमान मूल्य के समानुपाती होती है। घातांकीय फलन ex हमेशा ex की दर से बढ़ता है, यह एक ऐसी विशेषता है जो अन्य आधारों के लिए सही नहीं है और जो कि घातांक और लघुगणक के आसपास के बीजगणित को बहुत सरल बनाती है। यह संख्या अपरिमेय है, जिसका मान लगभग 2.71828 है।

वित्त में यूलर की संख्या का उपयोग कैसे किया जाता है?

यूलर की संख्या चक्रवृद्धि ब्याज से संबंधित समस्याओं में प्रकट होती है। जब भी कोई निवेश एक निश्चित अवधि में एक निश्चित ब्याज दर प्रदान करता है, तो उस निवेश के भविष्य के मूल्य की गणना आसानी से ई के रूप में की जा सकती है।