Euler's Constant

Hvað er númer Euler?

Tala Eulers er stærðfræðileg tjáning fyrir grunn náttúrulegs logaritma. Það er venjulega táknað með bókstafnum e og er almennt notað í vandamálum sem tengjast veldisvexti eða hrörnun.

Önnur leið til að túlka tölu Eulers er sem grunnur fyrir veldisfall þar sem gildi er alltaf jafnt afleiðu þess. Með öðrum orðum, e er eina mögulega talan þannig að ex hækkar á hraðanum ex fyrir hvert mögulegt x.

Að skilja númer Eulers

Þótt hann sé almennt tengdur við Leonhard Euler, var fastinn fyrst uppgötvaður árið 1683 af stærðfræðingnum Jacob Bernoulli. Bernoulli var að reyna að komast að því hvernig auður myndi vaxa ef vextir yrðu oftar bættir í stað þess að vera á ársgrundvelli.

Ímyndaðu þér að lána peninga á 100% vöxtum á hverju ári. Eftir eitt ár myndi peningurinn þinn tvöfaldast. En hvað ef vextirnir væru lækkaðir um helming og bættir tvisvar sinnum oftar? Með 50% á sex mánaða fresti myndu peningar þínir vaxa um 225% á einu ári. Eftir því sem bilið verður minna verður heildarávöxtunin aðeins hærri. Bernoulli komst að því að ef vextir eru reiknaðir n sinnum á ári, á genginu 100%/n, væri heildareignin í lok fyrsta árs aðeins meiri en 2,7 sinnum upphafleg fjárfesting. ef n er nægilega stórt.

Hins vegar var lykilverkið í kringum fastann ekki flutt fyrr en nokkrum áratugum síðar, af Leonhard Euler. Í Introductio in Analysin Infinitorum (1748) sannaði Euler að fastinn væri óræð tala, þar sem tölustafir myndu aldrei endurtaka sig. Hann sannaði einnig að hægt er að tákna fastann sem óendanlega summa af andhverfum þáttum:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ sinnum 3 \times 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ 1×2×31 + 1×2~~×3 ×4~~ 1~~+...+ n!1 ~~

Euler notaði bókstafinn e fyrir veldisvísa, en bókstafurinn er nú víða tengdur við nafn hans. Það er almennt notað í margs konar notkun, allt frá fólksfjölgun lifandi lífvera til geislavirkrar rotnunar þungra frumefna eins og úrans af kjarnorkuvísindamönnum. Það hefur einnig forrit í hornafræði, líkindum og öðrum sviðum hagnýtrar stærðfræði.

2.71828

Fyrstu tölustafir Eulers númers eru 2.71828..., þó talan sjálf sé ólokandi röð sem heldur áfram að eilífu, eins og pi (3.1415...).

Euler's Number í fjármálum: Samsettir vextir

Samsettir vextir hafa verið hylltir sem „kraftaverk“ fjármögnunar, þar sem vextir eru ekki aðeins lagðir á upphaflegar fjárhæðir sem fjárfestar eru eða lagðir inn heldur einnig á fyrri vexti. Stöðugt samsettur vöxtur næst þegar vextir eru endurfjárfestir á óendanlega lítilli tímaeiningu - og þó að þetta sé nánast ómögulegt í raunheimum er þetta hugtak mikilvægt til að skilja hegðun margra mismunandi tegunda fjármálagerninga, allt frá skuldabréfum til afleiðusamninga.

Samsettur vöxtur á þennan hátt er í ætt við veldisvöxt og er gefinn upp með eftirfarandi formúlu:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text{Framtíðargildi} \&\text = \text{Núgildi jafnvægis eða summu} \&e = \text{Euler's fasti} \&r = \text \&t = \text{Tími í árum} \\end$

Þess vegna, ef þú værir með $1.000 að borga 2% vexti með samfelldri samsetningu, eftir 3 ár hefðirðu:

$$1.000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1.061.84$

Athugaðu að þessi upphæð er hærri en ef samsetningartímabilið væri stakt tímabil, td mánaðarlega. Í þessu tilviki væri upphæð vaxta reiknuð öðruvísi: FV = PV(1+r/n)^nt, þar sem n er fjöldi samsettra tímabila á ári (í þessu tilfelli 12):

$$1.000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ sinnum 3 } = $1.061,78$

Hér er munurinn aðeins spurning um nokkur sent, en eftir því sem upphæðir okkar verða stærri, vextir hækka og tíminn lengist, verður samfelld samsetning með Euler's fasta meira og verðmætari miðað við staka samsetningu.

Ekki má rugla Eulertölu (e) saman við Eulers fasta, táknað með lágstöfum gamma (γ). Einnig þekktur sem Euler-Mascheroni fasti, sá síðarnefndi er skyldur harmonic röð og hefur gildi um það bil 0,5772....

Aðalatriðið

Tala Eulers er einn mikilvægasti fastinn í stærðfræði. Það birtist oft í vandamálum sem takast á við veldisvöxt eða hnignun, þar sem vaxtarhraði er í réttu hlutfalli við núverandi íbúa. Í fjármálum er e einnig notað í útreikningum á samsettum vöxtum, þar sem auður vex með ákveðnum hraða með tímanum.

Leiðrétting – 5. desember 2021: Fyrri útgáfa þessarar greinar blandaði saman tölu Eulers og Eulers fasta ranglega.

##Hápunktar

Óræð tala sem táknuð er með e, Tala Eulers er 2,71828..., þar sem tölustafirnir halda áfram að eilífu í röð sem endar aldrei eða endurtekur sig (svipað og pí).

Í fjármálum er tala Eulers notuð til að reikna út hvernig auður getur vaxið vegna samsettra vaxta.

Tala Eulers er notuð í allt frá því að útskýra veldisvöxt til geislavirkrar rotnunar.

Tala Eulers er mikilvægur fasti sem finnst í mörgum samhengi og er grunnur fyrir náttúrulega lógaritma.

##Algengar spurningar

Hvers vegna er númer Eulers mikilvægt?

Tala Eulers kemur oft fram í vandamálum sem tengjast vexti eða rotnun, þar sem breytingahraði ræðst af núvirði þeirrar tölu sem verið er að mæla. Eitt dæmi er í líffræði, þar sem búist er við að bakteríustofnar tvöfaldist með áreiðanlegu millibili. Annað tilfelli eru geislamælingar, þar sem búist er við að fjöldi geislavirkra atóma minnki yfir fastan helmingunartíma frumefnisins sem verið er að mæla.

Hver er númer Eulers nákvæmlega?

Í einföldu máli er tala Eulers grunnur veldisfalls þar sem vaxtarhraði er alltaf í réttu hlutfalli við núvirði þess. Veldisfallið ex vex alltaf á hraðanum ex, eiginleiki sem á ekki við um aðra grunna og einfaldur til muna algebruna í kringum veldisvísa og logra. Þessi tala er óræð, með gildið um það bil 2,71828....

Hvernig er númer Eulers notað í fjármálum?

Tala Eulers birtist í vandamálum sem tengjast vöxtum. Alltaf þegar fjárfesting býður upp á fasta vexti yfir ákveðið tímabil er auðvelt að reikna út framtíðarvirði þeirrar fjárfestingar í skilmálar af e.