Constante de Euler

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Qual é o número de Euler?

O número de Euler é uma expressão matemática para a base do logaritmo natural. Geralmente é representado pela letra e e é comumente usado em problemas relacionados ao crescimento ou decaimento exponencial.

Outra maneira de interpretar o número de Euler é como base para uma função exponencial cujo valor é sempre igual à sua derivada. Em outras palavras, e é o único número possível tal que ex aumenta a uma taxa de ex para cada possível x.

Entendendo o número de Euler

Embora comumente associada a Leonhard Euler, a constante foi descoberta pela primeira vez em 1683 pelo matemático Jacob Bernoulli. Bernoulli estava tentando determinar como a riqueza cresceria se os juros fossem compostos com mais frequência, em vez de uma base anual.

Imagine emprestar dinheiro a uma taxa de juros de 100% composta todos os anos. Depois de um ano, seu dinheiro dobraria. Mas e se a taxa de juros fosse cortada pela metade e composta duas vezes mais? A 50% a cada seis meses, seu dinheiro cresceria 225% em um ano. À medida que o intervalo fica menor, os retornos totais ficam um pouco maiores. Bernoulli descobriu que se os juros forem calculados n vezes por ano, a uma taxa de 100%/n, a riqueza total acumulada no final do primeiro ano seria ligeiramente maior que 2,7 vezes o investimento inicial se n for suficientemente grande.

No entanto, o principal trabalho em torno da constante não foi realizado até várias décadas depois, por Leonhard Euler. Em sua Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Euler provou que a constante era um número irracional, cujos dígitos nunca se repetiriam. Ele também provou que a constante pode ser representada como uma soma infinita de fatoriais inversos:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ vezes 3 \vezes 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span >~~

Euler usou a letra e para expoentes, mas a letra agora está amplamente associada ao seu nome. É comumente usado em uma ampla gama de aplicações, desde o crescimento populacional de organismos vivos até o decaimento radioativo de elementos pesados como o urânio por cientistas nucleares. Ele também tem aplicações em trigonometria, probabilidade e outras áreas da matemática aplicada.

2.71828

Os primeiros dígitos do número de Euler são 2,71828..., embora o número em si seja uma série sem fim que se prolonga para sempre, como pi (3,1415...).

Número de Euler em Finanças: Juros Compostos

Os juros compostos têm sido aclamados como um "milagre" das finanças, pelo qual os juros são creditados não apenas nos valores iniciais investidos ou depositados, mas também nos juros recebidos anteriormente. Os juros compostos continuamente são alcançados quando os juros são reinvestidos em uma unidade de tempo infinitamente pequena – e embora isso seja praticamente impossível no mundo real, esse conceito é crucial para entender o comportamento de muitos tipos diferentes de instrumentos financeiros, de títulos a contratos de derivativos.

Os juros compostos dessa maneira são semelhantes ao crescimento exponencial e são expressos pela seguinte fórmula:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text \&\text = \text \&e = \text{Euler's constante} \&r = \text \&t = \text \\end$

Portanto, se você tivesse $ 1.000 pagando 2% de juros com capitalização contínua, após 3 anos você teria:

$$1.000 \times 2,71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1.061,84$

Observe que esse valor é maior do que se o período de capitalização fosse um período discreto, digamos mensalmente. Nesse caso, o valor dos juros seria calculado de forma diferente: FV = PV(1+r/n)^nt, onde n é o número de períodos compostos em um ano (neste caso 12):

$$1.000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ vezes 3 } = $1.061,78$

Aqui, a diferença é apenas uma questão de alguns centavos, mas à medida que nossas somas aumentam, as taxas de juros aumentam e a quantidade de tempo aumenta, a composição contínua usando a constante de Euler se torna cada vez mais valiosa em relação à composição discreta.

O número de Euler (e) não deve ser confundido com a constante de Euler, denotada pela minúscula gama (γ). Também conhecida como constante de Euler-Mascheroni, esta última está relacionada à série harmônica e tem um valor de aproximadamente 0,5772....

A linha de fundo

O número de Euler é uma das constantes mais importantes da matemática. Frequentemente aparece em problemas que lidam com crescimento ou declínio exponencial, onde a taxa de crescimento é proporcional à população existente. Em finanças, e também é usado em cálculos de juros compostos, onde a riqueza cresce a uma taxa definida ao longo do tempo.

Correção – 5 de dezembro de 2021: uma versão anterior deste artigo confundia incorretamente o número de Euler com a constante de Euler.

##Destaques

Um número irracional denotado por e, o número de Euler é 2,71828..., onde os dígitos continuam para sempre em uma série que nunca termina ou se repete (semelhante a pi).

Em finanças, o número de Euler é usado para calcular como a riqueza pode crescer devido aos juros compostos.

O número de Euler é usado em tudo, desde explicar o crescimento exponencial ao decaimento radioativo.

O número de Euler é uma constante importante que se encontra em muitos contextos e é a base dos logaritmos naturais.

##PERGUNTAS FREQUENTES

Por que o número de Euler é importante?

O número de Euler aparece frequentemente em problemas relacionados ao crescimento ou declínio, onde a taxa de variação é determinada pelo valor presente do número que está sendo medido. Um exemplo é na biologia, onde se espera que as populações bacterianas dobrem em intervalos confiáveis. Outro caso é a datação radiométrica, onde se espera que o número de átomos radioativos diminua ao longo da meia-vida fixa do elemento que está sendo medido.

Qual é o número de Euler exatamente?

Simplificando, o número de Euler é a base de uma função exponencial cuja taxa de crescimento é sempre proporcional ao seu valor presente. A função exponencial ex sempre cresce a uma taxa de ex, uma característica que não é verdadeira para outras bases e que simplifica muito a álgebra em torno de expoentes e logaritmos. Este número é irracional, com um valor de aproximadamente 2,71828....

Como o número de Euler é usado nas finanças?

O número de Euler aparece em problemas relacionados a juros compostos. Sempre que um investimento oferece uma taxa de juros fixa durante um período de tempo, o valor futuro desse investimento pode ser facilmente calculado em termos de e.