Stała Eulera

Jaki jest numer Eulera?

Liczba Eulera jest matematycznym wyrażeniem podstawy logarytmu naturalnego. Jest zwykle reprezentowana przez literę e i jest powszechnie stosowana w problemach związanych z wykładniczym wzrostem lub zanikiem.

Innym sposobem interpretacji liczby Eulera jest podstawa funkcji wykładniczej, której wartość jest zawsze równa jej pochodnej. Innymi słowy, e jest jedyną możliwą liczbą, która ex rośnie w tempie ex dla każdego możliwego x.

Zrozumienie liczby Eulera

Chociaż powszechnie kojarzona z Leonhardem Eulerem, stała została po raz pierwszy odkryta w 1683 roku przez matematyka Jacoba Bernoulliego. Bernoulli próbował określić, w jaki sposób rosłoby bogactwo, gdyby odsetki były naliczane częściej niż w ujęciu rocznym.

Wyobraź sobie, że pożyczasz pieniądze ze 100% stopą procentową naliczaną co roku. Po roku twoje pieniądze podwoją się. Ale co by było, gdyby stopa procentowa była obniżona o połowę i składała się dwa razy częściej? Przy 50% co sześć miesięcy Twoje pieniądze wzrosłyby o 225% w ciągu jednego roku. W miarę zmniejszania się interwału łączne zwroty stają się nieco wyższe. Bernoulli stwierdził, że jeśli odsetki są obliczane n razy w roku, według stopy 100%/n, całkowite zgromadzone bogactwo na koniec pierwszego roku byłoby nieco większe niż 2,7-krotność początkowej inwestycji jeśli n jest wystarczająco duże.

Jednak kluczową pracę wokół stałej wykonał dopiero kilkadziesiąt lat później Leonhard Euler. W swoim Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler udowodnił, że stała jest liczbą niewymierną, której cyfry nigdy się nie powtórzą. Udowodnił również, że stałą można przedstawić jako nieskończoną sumę silni odwrotnych:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \razy 2 \razy 3 } + \frac {1 }{ 1 \razy 2 \ razy 3 \razy 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span >~~

Euler użył litery e dla wykładników, ale ta litera jest obecnie powszechnie kojarzona z jego imieniem. Jest powszechnie stosowany w wielu zastosowaniach, od wzrostu populacji organizmów żywych po radioaktywny rozpad ciężkich pierwiastków, takich jak uran, przez naukowców jądrowych. Ma również zastosowanie w trygonometrii, prawdopodobieństwie i innych obszarach matematyki stosowanej.

2,71828

Pierwsze cyfry liczby Eulera to 2.71828..., chociaż sama liczba jest ciągiem niekończącym się, który ciągnie się w nieskończoność, jak pi (3.1415...).

Liczba Eulera w finansach: odsetki składane

Odsetki składane okrzyknięto „cudem” finansów, w ramach którego odsetki są naliczane nie tylko na poczet zainwestowanych lub zdeponowanych kwot, ale także od wcześniej otrzymanych odsetek. Oprocentowanie ciągłe składane jest osiągane, gdy odsetki są reinwestowane w nieskończenie małej jednostce czasu – i chociaż jest to praktycznie niemożliwe w prawdziwym świecie, koncepcja ta ma kluczowe znaczenie dla zrozumienia zachowania wielu różnych rodzajów instrumentów finansowych, od obligacji po kontrakty na instrumenty pochodne.

W ten sposób zainteresowanie złożone jest zbliżone do wzrostu wykładniczego i wyraża się następującym wzorem:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text{Przyszła wartość} \&\text = \text{Aktualna wartość salda lub sumy} \&e = \text{Stała Eulera} \&r = \text{Składana stopa procentowa} \&t = \text \\end{wyrównany}$

Dlatego jeśli miałbyś 1000 USD płacąc 2% odsetek z ciągłą kapitalizacją, po 3 latach miałbyś:

$$1000 \times 2,71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1.061,84$

Zwróć uwagę, że ta kwota jest większa niż gdyby okres kapitalizacji był okresem dyskretnym, powiedzmy co miesiąc. W tym przypadku kwota odsetek byłaby obliczona inaczej: FV = PV(1+r/n)^nt, gdzie n to liczba okresów kapitalizacji w roku (w tym przypadku 12):

$\1000 USD \Duża ( 1 + \frac {12 } \Duża ) ^ { 12 \ razy 3 } = $1.061,78$

Tutaj różnica jest tylko kwestią kilku centów, ale w miarę jak nasze sumy rosną, stopy procentowe rosną, a czas się wydłuża, ciągła kapitalizacja przy użyciu stałej Eulera staje się coraz bardziej wartościowa w porównaniu z dyskretną kapitalizacją.

Liczby Eulera (e) nie należy mylić ze stałą Eulera, oznaczaną małą literą gamma (γ). Znana również jako stała Eulera-Mascheroniego, ta ostatnia jest związana z szeregiem harmonicznym i ma wartość około 0,5772...

Podsumowanie

Liczba Eulera jest jedną z najważniejszych stałych w matematyce. Często pojawia się w problemach związanych z wykładniczym wzrostem lub zanikiem, gdzie tempo wzrostu jest proporcjonalne do istniejącej populacji. W finansach e jest również używane do obliczania odsetek składanych, w przypadku których majątek rośnie w ustalonym tempie w czasie.

Korekta – 5 grudnia 2021 r.: Wcześniejsza wersja tego artykułu błędnie połączyła liczbę Eulera ze stałą Eulera.

##Przegląd najważniejszych wydarzeń

Liczba niewymierna oznaczona przez e, liczba Eulera to 2.71828..., gdzie cyfry ciągną się w nieskończoność w serii, która nigdy się nie kończy ani nie powtarza (podobnie jak pi).

W finansach liczba Eulera służy do obliczania, jak bogactwo może rosnąć dzięki oprocentowaniu składanemu.

Liczba Eulera jest używana we wszystkim, od wyjaśniania wzrostu wykładniczego po rozpad radioaktywny.

Liczba Eulera jest ważną stałą występującą w wielu kontekstach i stanowi podstawę logarytmów naturalnych.

##FAQ

Dlaczego numer Eulera jest ważny?

Liczba Eulera często pojawia się w problemach związanych ze wzrostem lub rozpadem, gdzie tempo zmian jest określone przez aktualną wartość mierzonej liczby. Jednym z przykładów jest biologia, gdzie oczekuje się, że populacje bakterii podwoją się w wiarygodnych odstępach czasu. Innym przypadkiem jest datowanie radiometryczne, w którym oczekuje się, że liczba radioaktywnych atomów spadnie w ustalonym okresie półtrwania mierzonego pierwiastka.

Jaki dokładnie jest numer Eulera?

Mówiąc prościej, liczba Eulera jest podstawą funkcji wykładniczej, której tempo wzrostu jest zawsze proporcjonalne do jej wartości bieżącej. Funkcja wykładnicza ex zawsze rośnie w tempie ex, co nie jest prawdziwe w przypadku innych baz i znacznie upraszcza algebrę otaczającą wykładniki i logarytmy. Ta liczba jest irracjonalna i wynosi około 2,71828....

W jaki sposób numer Eulera jest używany w finansach?

Liczba Eulera pojawia się w problemach związanych z oprocentowaniem składanym. Za każdym razem, gdy inwestycja oferuje stałą stopę procentową przez pewien okres, przyszłą wartość tej inwestycji można łatwo obliczyć w postaci e.