Pemalar Euler'

Apakah Nombor Euler?

Nombor Euler ialah ungkapan matematik untuk asas logaritma asli. Ia biasanya diwakili oleh huruf e dan biasanya digunakan dalam masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan eksponen atau pereputan.

Satu lagi cara untuk mentafsir nombor Euler ialah sebagai asas bagi fungsi eksponen yang nilainya sentiasa sama dengan terbitannya. Dalam erti kata lain, e ialah satu-satunya nombor yang mungkin sehingga ex meningkat pada kadar ex untuk setiap x yang mungkin.

Memahami Nombor Euler

Walaupun biasanya dikaitkan dengan Leonhard Euler, pemalar pertama kali ditemui pada tahun 1683 oleh ahli matematik Jacob Bernoulli. Bernoulli cuba untuk menentukan bagaimana kekayaan akan berkembang jika faedah dikompaun lebih kerap, bukannya secara tahunan.

Bayangkan meminjamkan wang pada kadar faedah 100% dikompaun setiap tahun. Selepas satu tahun, wang anda akan berganda. Tetapi bagaimana jika kadar faedah dipotong separuh, dan dikompaun dua kali lebih kerap? Pada 50% setiap enam bulan, wang anda akan berkembang sebanyak 225% dalam satu tahun. Apabila selang semakin kecil, jumlah pulangan menjadi lebih tinggi sedikit. Bernoulli mendapati bahawa jika faedah dikira n kali setahun, pada kadar 100%/n, jumlah kekayaan bertambah pada akhir tahun pertama akan lebih besar sedikit daripada 2.7 kali pelaburan awal jika n cukup besar.

Walau bagaimanapun, kerja utama yang mengelilingi pemalar tidak dilakukan sehingga beberapa dekad kemudian, oleh Leonhard Euler. Dalam Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Euler membuktikan bahawa pemalar ialah nombor tidak rasional, yang digitnya tidak akan berulang. Dia juga membuktikan bahawa pemalar boleh diwakili sebagai jumlah tak terhingga bagi faktorial songsang:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ darab 3 \kali 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span >~~

Euler menggunakan huruf e untuk eksponen, tetapi huruf itu kini banyak dikaitkan dengan namanya. Ia biasanya digunakan dalam pelbagai aplikasi daripada pertumbuhan populasi organisma hidup kepada pereputan radioaktif unsur berat seperti uranium oleh saintis nuklear. Ia juga mempunyai aplikasi dalam trigonometri, kebarangkalian, dan bidang matematik gunaan yang lain.

2.71828

Digit pertama nombor Euler ialah 2.71828..., walaupun nombor itu sendiri adalah siri tidak penamat yang berterusan selama-lamanya, seperti pi (3.1415...).

Nombor Euler dalam Kewangan: Faedah Kompaun

Faedah kompaun telah dipuji sebagai "keajaiban" kewangan, di mana faedah dikreditkan bukan sahaja jumlah awal yang dilaburkan atau didepositkan, tetapi juga pada faedah sebelumnya yang diterima. Faedah pengkompaunan berterusan dicapai apabila faedah dilaburkan semula dalam satu unit masa yang sangat kecil—dan walaupun ini hampir mustahil dalam dunia nyata, konsep ini penting untuk memahami gelagat pelbagai jenis instrumen kewangan daripada bon kepada kontrak derivatif.

Faedah kompaun dengan cara ini adalah serupa dengan pertumbuhan eksponen, dan dinyatakan dengan formula berikut:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text \&\text = \text \&e = \text{Pemalar Euler's} \&r = \text \&t = \text \\end$

Oleh itu, jika anda mempunyai $1,000 membayar faedah 2% dengan pengkompaunan berterusan, selepas 3 tahun anda akan mempunyai:

$$1,000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061.84$

Ambil perhatian bahawa amaun ini lebih besar daripada jika tempoh pengkompaunan ialah tempoh diskret, katakan pada asas bulanan. Dalam kes ini, amaun faedah akan dikira secara berbeza: FV = PV(1+r/n)^nt, dengan n ialah bilangan tempoh pengkompaunan dalam setahun (dalam kes ini 12):

$$1,000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ kali 3 } = $1,061.78$

Di sini, perbezaannya hanya beberapa sen sahaja, tetapi apabila jumlah kami semakin besar, kadar faedah menjadi lebih tinggi, dan jumlah masa menjadi lebih lama, pengkompaunan berterusan menggunakan pemalar Euler menjadi lebih dan lebih berharga berbanding pengkompaunan diskret.

Nombor Euler (e) tidak boleh dikelirukan dengan pemalar Euler, dilambangkan dengan huruf kecil gamma (γ). Juga dikenali sebagai pemalar Euler-Mascheroni, yang terakhir ini berkaitan dengan siri harmonik dan mempunyai nilai kira-kira 0.5772....

Garisan bawah

Nombor Euler adalah salah satu pemalar terpenting dalam matematik. Ia sering muncul dalam masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan eksponen atau pereputan, di mana kadar pertumbuhan adalah berkadar dengan populasi sedia ada. Dalam kewangan, e juga digunakan dalam pengiraan faedah kompaun, di mana kekayaan berkembang pada kadar yang ditetapkan dari semasa ke semasa.

Pembetulan–5 Disember 2021: Versi awal artikel ini salah menggabungkan nombor Euler dengan pemalar Euler.

##Sorotan

Nombor tak rasional yang dilambangkan dengan e, Nombor Euler ialah 2.71828..., di mana digitnya berterusan selama-lamanya dalam siri yang tidak pernah berakhir atau berulang (serupa dengan pi).

Dalam kewangan, nombor Euler digunakan untuk mengira bagaimana kekayaan boleh berkembang kerana faedah kompaun.

Nombor Euler digunakan dalam segala-galanya daripada menerangkan pertumbuhan eksponen kepada pereputan radioaktif.

Nombor Euler ialah pemalar penting yang terdapat dalam banyak konteks dan merupakan asas untuk logaritma semula jadi.

##Soalan Lazim

Mengapa Nombor Euler Penting?

Nombor Euler kerap muncul dalam masalah yang berkaitan dengan pertumbuhan atau pereputan, di mana kadar perubahan ditentukan oleh nilai semasa nombor yang diukur. Satu contoh adalah dalam biologi, di mana populasi bakteria dijangka meningkat dua kali ganda pada selang yang boleh dipercayai. Satu lagi kes ialah pentarikhan radiometrik, di mana bilangan atom radioaktif dijangka menurun sepanjang separuh hayat tetap unsur yang diukur.

Apakah Nombor Euler Tepat?

Ringkasnya, nombor Euler ialah asas bagi fungsi eksponen yang kadar pertumbuhannya sentiasa berkadar dengan nilai semasanya. Fungsi eksponen ex sentiasa berkembang pada kadar ex, ciri yang tidak benar untuk asas lain dan satu yang sangat memudahkan algebra mengelilingi eksponen dan logaritma. Nombor ini tidak rasional, dengan nilai lebih kurang 2.71828....

Bagaimanakah Nombor Euler Digunakan dalam Kewangan?

Nombor Euler muncul dalam masalah yang berkaitan dengan faedah kompaun. Setiap kali pelaburan menawarkan kadar faedah tetap dalam satu tempoh masa, nilai masa depan pelaburan tersebut boleh dikira dengan mudah dari segi e.