Costante di Eulero

Qual è il numero di Eulero?

Il numero di Eulero è un'espressione matematica per la base del logaritmo naturale. Di solito è rappresentato dalla lettera e ed è comunemente usato nei problemi relativi alla crescita o al decadimento esponenziale.

Un altro modo per interpretare il numero di Eulero è come base per una funzione esponenziale il cui valore è sempre uguale alla sua derivata. In altre parole, e è l'unico numero possibile tale che ex aumenta di un tasso di ex per ogni possibile x.

Capire il numero di Eulero

Sebbene comunemente associata a Leonhard Euler, la costante fu scoperta per la prima volta nel 1683 dal matematico Jacob Bernoulli. Bernoulli stava cercando di determinare come sarebbe cresciuta la ricchezza se gli interessi fossero stati composti più spesso, invece che su base annuale.

Immagina di prestare denaro a un tasso di interesse del 100%, composto ogni anno. Dopo un anno, i tuoi soldi raddoppieranno. Ma cosa accadrebbe se il tasso di interesse fosse dimezzato e composto due volte più spesso? Al 50% ogni sei mesi, i tuoi soldi aumenterebbero del 225% in un anno. Man mano che l'intervallo si riduce, i rendimenti totali aumentano leggermente. Bernoulli ha scoperto che se l'interesse viene calcolato n volte all'anno, a un tasso del 100%/n, la ricchezza totale accumulata alla fine del primo anno sarebbe leggermente superiore a 2,7 volte l'investimento iniziale se n è sufficientemente grande.

Tuttavia, il lavoro chiave che circonda la costante non fu eseguito fino a diversi decenni dopo, da Leonhard Euler. Nella sua Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Eulero dimostrò che la costante era un numero irrazionale, le cui cifre non si sarebbero mai ripetute. Ha anche dimostrato che la costante può essere rappresentata come una somma infinita di fattoriali inversi:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ volte 3 \volte 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$

Eulero usava la lettera e per gli esponenti, ma la lettera è ora ampiamente associata al suo nome. È comunemente usato in un'ampia gamma di applicazioni dalla crescita della popolazione di organismi viventi al decadimento radioattivo di elementi pesanti come l'uranio da parte degli scienziati nucleari. Ha anche applicazioni in trigonometria, probabilità e altre aree della matematica applicata.

2.71828

Le prime cifre del numero di Eulero sono 2.71828..., sebbene il numero stesso sia una serie non terminante che continua all'infinito, come pi (3.1415...).

Il numero di Eulero in finanza: interesse composto

L'interesse composto è stato salutato come un "miracolo" della finanza, per cui gli interessi vengono accreditati non solo sugli importi iniziali investiti o depositati, ma anche sugli interessi precedenti ricevuti. La capitalizzazione continua dell'interesse si ottiene quando l'interesse viene reinvestito in un'unità di tempo infinitamente piccola e, sebbene ciò sia praticamente impossibile nel mondo reale, questo concetto è fondamentale per comprendere il comportamento di molti diversi tipi di strumenti finanziari, dalle obbligazioni ai contratti derivati.

L'interesse composto in questo modo è simile alla crescita esponenziale ed è espresso dalla seguente formula:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text \&\text = \text \&e = \text{Eulero's costante} \&r = \text \&t = \text \\end$

Pertanto, se avessi $ 1.000 pagando il 2% di interessi con capitalizzazione continua, dopo 3 anni avresti:

$$1.000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1.061,84$

Si noti che questo importo è maggiore che se il periodo di composizione fosse un periodo discreto, ad esempio su base mensile. In questo caso, l'importo degli interessi sarebbe calcolato in modo diverso: FV = PV(1+r/n)^nt, dove n è il numero di periodi di composizione in un anno (in questo caso 12):

$$1.000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ volte 3 } = $1.061,78$

Qui, la differenza è solo questione di pochi centesimi, ma man mano che le nostre somme aumentano, i tassi di interesse aumentano e la quantità di tempo si allunga, la composizione continua utilizzando la costante di Eulero diventa sempre più preziosa rispetto alla composizione discreta.

Il numero di Eulero (e) non va confuso con la costante di Eulero, indicata dalla gamma minuscola (γ). Conosciuta anche come costante di Eulero-Mascheroni, quest'ultima è relativa a serie armoniche e ha un valore di circa 0,5772....

La linea di fondo

Il numero di Eulero è una delle costanti più importanti in matematica. Appare frequentemente nei problemi relativi alla crescita o al decadimento esponenziale, in cui il tasso di crescita è proporzionale alla popolazione esistente. In finanza, e viene utilizzato anche nei calcoli dell'interesse composto, in cui la ricchezza cresce a un tasso fisso nel tempo.

Correzione–5 dicembre 2021: Una versione precedente di questo articolo confondeva in modo errato il numero di Eulero con la costante di Eulero.

Mette in risalto

Un numero irrazionale indicato da e, il numero di Eulero è 2.71828..., dove le cifre continuano all'infinito in una serie che non finisce o non si ripete mai (simile a pi).

In finanza, il numero di Eulero viene utilizzato per calcolare come la ricchezza può crescere a causa dell'interesse composto.

Il numero di Eulero è usato in tutto, dalla spiegazione della crescita esponenziale al decadimento radioattivo.

Il numero di Eulero è una costante importante che si trova in molti contesti ed è la base per i logaritmi naturali.

FAQ

Perché il numero di Eulero è importante?

Il numero di Eulero compare spesso nei problemi relativi alla crescita o al decadimento, dove il tasso di variazione è determinato dal valore attuale del numero misurato. Un esempio è in biologia, dove ci si aspetta che le popolazioni batteriche raddoppino a intervalli affidabili. Un altro caso è la datazione radiometrica, in cui si prevede che il numero di atomi radioattivi diminuirà durante l'emivita fissa dell'elemento misurato.

Qual è esattamente il numero di Eulero?

In parole povere, il numero di Eulero è la base di una funzione esponenziale il cui tasso di crescita è sempre proporzionale al suo valore attuale. La funzione esponenziale ex cresce sempre a una velocità di ex, una caratteristica che non è vera per altre basi e che semplifica enormemente l'algebra che circonda esponenti e logaritmi. Questo numero è irrazionale, con un valore di circa 2,71828....

Come viene utilizzato il numero di Eulero in finanza?

Il numero di Eulero compare nei problemi relativi all'interesse composto. Ogni volta che un investimento offre un tasso di interesse fisso per un periodo di tempo, il valore futuro di tale investimento può essere facilmente calcolato in termini di e.