오일러 상수

오일러의 수는 무엇입니까?

오일러 수는 자연 로그의 밑수에 대한 수학적 표현입니다. 일반적으로 e로 표시되며 기하급수적 증가 또는 감소와 관련된 문제에서 일반적으로 사용됩니다.

오일러 수를 해석하는 또 다른 방법은 값이 항상 도함수와 동일한 지수 함수의 밑수로 사용하는 것입니다. 즉, e는 ex가 가능한 모든 x에 대해 ex의 비율로 증가하는 유일한 가능한 숫자입니다.

오일러 수 이해하기

일반적으로 Leonhard Euler와 관련이 있지만 상수는 수학자 Jacob Bernoulli에 의해 1683년에 처음 발견되었습니다. 베르누이는 이자가 연간 단위가 아니라 더 자주 복리되면 부의 증가를 결정하려고 했습니다.

매년 복리로 100% 이자율로 돈을 빌려준다고 상상해 보십시오. 1년 후, 당신의 돈은 두 배가 될 것입니다. 그러나 이자율을 반으로 줄이고 복리를 두 배로 늘리면 어떻게 될까요? 6개월마다 50%씩, 당신의 돈은 1년 안에 225% 증가할 것입니다. 간격이 작아질수록 총 수익률은 약간 높아집니다. Bernoulli는 이자가 100%/n의 비율로 매년 n번 계산되면 첫 해 말에 누적된 총 자산이 초기 투자의 2.7배보다 약간 더 크다는 것을 발견했습니다. n이 충분히 큰 경우.

그러나 상수를 둘러싼 핵심 작업은 수십 년 후 Leonhard Euler가 수행할 때까지 수행되지 않았습니다. 그의 Introductio in Analysin Infinitorum(1748)에서 오일러는 상수가 절대 반복되지 않는 무리수임을 증명했습니다. 그는 또한 상수가 역 계승의 무한 합으로 표현될 수 있음을 증명했습니다.

$<annotation encoding="application/x-tex" ">e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ 곱하기 3 \시간 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ +<스팬 클래스 ="vlist-r">2</ 스팬>1 + 1×2×31 + 1×<s 팬 클래스="mord mtight">2×3 ×4 1+</ 스팬>...+ n!1 < 스팬 class="vlist" style="height:0.345em;">

오일러는 지수에 대해 문자 e를 사용했지만 이제 이 문자는 그의 이름과 널리 연관됩니다. 그것은 살아있는 유기체의 인구 증가에서 핵 과학자에 의한 우라늄과 같은 무거운 원소의 방사성 붕괴에 이르기까지 광범위한 응용 분야에서 일반적으로 사용됩니다. 또한 삼각법, 확률 및 기타 응용 수학 분야에 응용할 수 있습니다.

2.71828

오일러 수의 첫 번째 숫자는 2.71828...이지만 숫자 자체는 파이(3.1415...)와 같이 영원히 계속되는 끝나지 않는 급수입니다.

금융에서의 오일러 수: 복리

복리 는 금융의 "기적"으로 환영받고 있으며, 이자는 초기 투자 또는 예치된 금액뿐만 아니라 이전에 받은 이자에도 적용됩니다. 지속적 으로 복리 이자는 이자가 무한히 작은 단위에 재투자될 때 달성되며, 이는 현실 세계에서는 사실상 불가능하지만, 이 개념은 채권에서 파생 상품 계약에 이르기까지 다양한 유형의 금융 상품의 행동을 이해하는 데 중요합니다.

이러한 방식의 복리는 지수 성장과 유사하며 다음 공식으로 표현됩니다.

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf{여기서:} \&a mp;\text = \text{미래 가치} \&\text = \text{잔액 또는 합계의 현재 가치} \&e = \text{오일러 상수} \&r = \text{복리된 이자율} \&t = \text{년 단위의 시간} \\end$ FV=PVrt</ 스팬>여기서:FV=미래 가치PV=잔액 또는 합계의 현재 가치</ 스팬>=오일러 상수< 스팬 클래스="pstrut" 스타일="높이:3em;">r= 복리된 이자율</ 스팬> =연간 시간

따라서 연속 복리로 2%의 이자를 지불하는 $1,000가 있는 경우 3년 후에는 다음을 얻게 됩니다.

$$1,000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061.84$

이 금액은 복리 기간이 별도의 기간(예: 월별 기준)인 경우보다 큽니다. 이 경우 이자 금액은 FV = PV(1+r/n)^nt와 같이 다르게 계산됩니다. 여기서 n은 1년의 복리 기간 수(이 경우 12)입니다.

$$1,000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ 곱하기 3 } = $1,061.78$ )12×3 =$1,</ 스팬>061.78

여기서 차이는 몇 센트에 불과하지만 합계가 커질수록 이자율이 높아지고 시간이 길어질수록 오일러 상수를 사용하는 연속 복리가 이산 복리 와 비교하여 점점 더 가치가 높아집니다.

오일러 수(e)는 소문자 감마(γ)로 표시되는 오일러 상수와 혼동되어서는 안 됩니다. 오일러-마스케로니 상수라고도 하는 후자는 고조파 급수와 관련이 있으며 약 0.5772의 값을 갖습니다....

결론

오일러 수는 수학에서 가장 중요한 상수 중 하나입니다. 성장률이 기존 인구에 비례하는 기하급수적 성장 또는 붕괴를 다루는 문제에서 자주 나타납니다. 금융에서 e는 시간이 지남에 따라 자산이 정해진 비율로 증가하는 복리 계산에도 사용됩니다.

수정–2021년 12월 5일: 이 기사의 이전 버전은 오일러 상수와 오일러 수를 잘못 연결했습니다.

##하이라이트

e, 오일러 수는 2.71828...로 표시되는 무리수입니다. 여기서 숫자는 끝나지 않거나 반복되지 않는 계열에서 영원히 계속됩니다(파이와 유사).
금융에서 오일러의 수는 복리로 인해 부의 증가를 계산하는 데 사용됩니다.
오일러의 수는 기하급수적인 성장을 설명하는 것부터 방사성 붕괴에 이르기까지 모든 것에 사용됩니다.
오일러 수는 많은 맥락에서 발견되는 중요한 상수이며 자연 로그의 기초가 됩니다.

##자주하는 질문

오일러의 수가 왜 중요한가요?

오일러 수는 변화율이 측정되는 숫자의 현재 가치에 의해 결정되는 성장 또는 붕괴와 관련된 문제에서 자주 나타납니다. 한 가지 예는 생물학에서 박테리아 개체수가 신뢰할 수 있는 간격으로 두 배로 증가할 것으로 예상되는 경우입니다. 또 다른 경우는 방사성 원자의 수가 측정되는 원소의 고정된 반감기에 걸쳐 감소할 것으로 예상되는 방사성 연대측정법입니다.

오일러의 수는 정확히 무엇입니까?

간단히 말해서 오일러 수는 성장률이 항상 현재 가치에 비례하는 지수 함수의 밑입니다. 지수 함수 ex는 항상 ex의 비율로 증가합니다. 다른 기수에는 해당되지 않는 기능이며 지수 및 로그를 둘러싼 대수학을 크게 단순화하는 기능입니다. 이 숫자는 약 2.71828의 값으로 비합리적입니다....

오일러 수는 금융에서 어떻게 사용됩니까?

오일러의 수는 복리와 관련된 문제에 나타납니다. 투자가 일정 기간 동안 고정 이자율을 제공할 때마다 해당 투자의 미래 가치는 e로 쉽게 계산할 수 있습니다.