Constante d'Euler

Qu'est-ce que le nombre d'Euler ?

Le nombre d'Euler est une expression mathématique de la base du logarithme népérien. Il est généralement représenté par la lettre e et est couramment utilisé dans les problèmes liés à la croissance ou à la décroissance exponentielle.

Une autre façon d'interpréter le nombre d'Euler est comme la base d'une fonction exponentielle dont la valeur est toujours égale à sa dérivée. En d'autres termes, e est le seul nombre possible tel que ex augmente à un taux de ex pour chaque x possible.

Comprendre le nombre d'Euler

Bien que communément associée à Leonhard Euler, la constante a été découverte pour la première fois en 1683 par le mathématicien Jacob Bernoulli. Bernoulli essayait de déterminer comment la richesse augmenterait si les intérêts étaient composés plus souvent, plutôt que sur une base annuelle.

Imaginez que vous prêtiez de l'argent à un taux d'intérêt de 100 %, composé chaque année. Après un an, votre argent doublerait. Mais que se passerait-il si le taux d'intérêt était réduit de moitié et composé deux fois plus souvent ? À 50 % tous les six mois, votre argent augmenterait de 225 % en un an. À mesure que l'intervalle se réduit, les rendements totaux augmentent légèrement. Bernoulli a constaté que si les intérêts sont calculés n fois par an, à un taux de 100 %/n, la richesse totale accumulée à la fin de la première année serait légèrement supérieure à 2,7 fois l'investissement initial. si n est suffisamment grand.

Cependant, le travail clé entourant la constante n'a été réalisé que plusieurs décennies plus tard, par Leonhard Euler. Dans son Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Euler a prouvé que la constante était un nombre irrationnel, dont les chiffres ne se répéteraient jamais. Il a également prouvé que la constante peut être représentée comme une somme infinie de factorielles inverses :

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ fois 3 \fois 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$

Euler a utilisé la lettre e pour les exposants, mais la lettre est maintenant largement associée à son nom. Il est couramment utilisé dans un large éventail d'applications allant de la croissance démographique d'organismes vivants à la désintégration radioactive d'éléments lourds comme l'uranium par les scientifiques nucléaires. Il a également des applications en trigonométrie, en probabilité et dans d'autres domaines des mathématiques appliquées.

2.71828

Les premiers chiffres du nombre d'Euler sont 2,71828..., bien que le nombre lui-même soit une série sans fin qui continue indéfiniment, comme pi (3,1415...).

Nombre d'Euler en finance : intérêts composés

Les intérêts composés ont été salués comme un « miracle » de la finance, dans lequel les intérêts sont crédités non seulement sur les montants initiaux investis ou déposés, mais également sur les intérêts reçus antérieurement. Des intérêts composés en continu sont obtenus lorsque les intérêts sont réinvestis sur une unité de temps infiniment petite - et bien que cela soit pratiquement impossible dans le monde réel, ce concept est crucial pour comprendre le comportement de nombreux types d'instruments financiers différents, des obligations aux contrats dérivés.

L'intérêt composé de cette manière s'apparente à une croissance exponentielle et s'exprime par la formule suivante :

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf{où :} \&a mp;\text = \text \&\text = \text \&e = \text{Constante d'Euler} \&r = \text{Taux d'intérêt composé} \&t = \text{Durée en années} \\end$

Par conséquent, si vous aviez 1 000 $ en payant un intérêt de 2 % avec une capitalisation continue, après 3 ans, vous auriez :

$$1,000 \times 2.71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061.84$

Notez que ce montant est plus élevé que si la période de capitalisation était une période discrète, disons sur une base mensuelle. Dans ce cas, le montant des intérêts serait calculé différemment : FV = PV(1+r/n)^nt, où n est le nombre de périodes de capitalisation dans une année (dans ce cas, 12) :

$$1,000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ fois 3 } = $1,061.78$

Ici, la différence n'est que de quelques centimes, mais à mesure que nos sommes augmentent, que les taux d'intérêt augmentent et que le temps s'allonge, la composition continue utilisant la constante d'Euler devient de plus en plus précieuse par rapport à la composition discrète.

Le nombre d'Euler (e) ne doit pas être confondu avec la constante d'Euler, notée gamma minuscule (γ). Aussi connue sous le nom de constante d'Euler-Mascheroni, cette dernière est liée aux séries harmoniques et a une valeur d'environ 0,5772....

L'essentiel

Le nombre d'Euler est l'une des constantes les plus importantes en mathématiques. Il apparaît fréquemment dans les problèmes de croissance ou de décroissance exponentielle, où le taux de croissance est proportionnel à la population existante. En finance, e est également utilisé dans les calculs d'intérêts composés, où la richesse augmente à un taux fixe au fil du temps.

Correction–5 décembre 2021 : Une version antérieure de cet article confondait de manière incorrecte le nombre d'Euler avec la constante d'Euler.

Points forts

Un nombre irrationnel noté e, Le nombre d'Euler est 2,71828..., où les chiffres continuent indéfiniment dans une série qui ne se termine jamais ou ne se répète pas (similaire à pi).

En finance, le nombre d'Euler est utilisé pour calculer comment la richesse peut croître en raison des intérêts composés.

Le nombre d'Euler est utilisé dans tout, depuis l'explication de la croissance exponentielle jusqu'à la décroissance radioactive.

Le nombre d'Euler est une constante importante que l'on retrouve dans de nombreux contextes et qui est la base des logarithmes naturels.

FAQ

Pourquoi le nombre d'Euler est-il important ?

Le nombre d'Euler apparaît fréquemment dans les problèmes liés à la croissance ou à la décroissance, où le taux de changement est déterminé par la valeur actuelle du nombre mesuré. Un exemple est en biologie, où les populations bactériennes devraient doubler à des intervalles fiables. Un autre cas est la datation radiométrique, où le nombre d'atomes radioactifs devrait diminuer au cours de la demi-vie fixe de l'élément mesuré.

Qu'est-ce que le nombre d'Euler exactement ?

Pour faire simple, le nombre d'Euler est la base d'une fonction exponentielle dont le taux de croissance est toujours proportionnel à sa valeur actuelle. La fonction exponentielle ex croît toujours à un taux de ex, une caractéristique qui n'est pas vraie pour les autres bases et qui simplifie énormément l'algèbre entourant les exposants et les logarithmes. Ce nombre est irrationnel, avec une valeur d'environ 2,71828....

Comment le nombre d'Euler est-il utilisé en finance ?

Le nombre d'Euler apparaît dans les problèmes liés aux intérêts composés. Chaque fois qu'un investissement offre un taux d'intérêt fixe sur une période de temps, la valeur future de cet investissement peut facilement être calculée en termes de e.