Constante de Euler
¿Qué es el número de Euler?
El número de Euler es una expresión matemática para la base del logaritmo natural. Por lo general, se representa con la letra e y se usa comúnmente en problemas relacionados con el crecimiento o la disminución exponencial.
Otra forma de interpretar el número de Euler es como base de una función exponencial cuyo valor es siempre igual a su derivada. En otras palabras, e es el único número posible tal que ex aumenta a razón de ex por cada x posible.
Entendiendo el Número de Euler
Aunque comúnmente asociada con Leonhard Euler, la constante fue descubierta por primera vez en 1683 por el matemático Jacob Bernoulli. Bernoulli estaba tratando de determinar cómo crecería la riqueza si el interés se capitalizara más a menudo, en lugar de anualmente.
Imagine prestar dinero a una tasa de interés del 100 %, compuesta cada año. Después de un año, su dinero se duplicaría. Pero, ¿y si la tasa de interés se redujera a la mitad y se capitalizara con el doble de frecuencia? Al 50% cada seis meses, su dinero crecería un 225% en un año. A medida que el intervalo se hace más pequeño, los rendimientos totales aumentan ligeramente. Bernoulli descubrió que si el interés se calcula n veces al año, a una tasa del 100 %/n, la riqueza acumulada total al final del primer año sería ligeramente superior a 2,7 veces la inversión inicial si n es suficientemente grande.
Sin embargo, el trabajo clave que rodea a la constante no se realizó hasta varias décadas después, por Leonhard Euler. En su Introductio in Analysin Infinitorum (1748), Euler demostró que la constante era un número irracional, cuyos dígitos nunca se repetirían. También demostró que la constante se puede representar como una suma infinita de factoriales inversos:
+</ span>...+ n!1 < abarcan clase="vlist" style="altura:0.345em;"></ intervalo>
Euler usó la letra e para los exponentes, pero ahora la letra está ampliamente asociada con su nombre. Se usa comúnmente en una amplia gama de aplicaciones, desde el crecimiento de la población de organismos vivos hasta la descomposición radiactiva de elementos pesados como el uranio por parte de los científicos nucleares. También tiene aplicaciones en trigonometría, probabilidad y otras áreas de las matemáticas aplicadas.
2.71828
Los primeros dígitos del número de Euler son 2,71828..., aunque el número en sí es una serie sin terminación que continúa para siempre, como pi (3,1415...).
Número de Euler en finanzas: interés compuesto
El interés compuesto ha sido aclamado como un "milagro" de las finanzas, mediante el cual se acreditan intereses no solo sobre las cantidades iniciales invertidas o depositadas, sino también sobre los intereses recibidos anteriormente. El interés compuesto continuo se logra cuando el interés se reinvierte en una unidad de tiempo infinitamente pequeña, y aunque esto es prácticamente imposible en el mundo real, este concepto es crucial para comprender el comportamiento de muchos tipos diferentes de instrumentos financieros, desde bonos hasta contratos de derivados.
El interés compuesto de esta manera es similar al crecimiento exponencial y se expresa mediante la siguiente fórmula:
Por lo tanto, si tuviera $1,000 pagando 2% de interés con capitalización continua, después de 3 años tendría:
$1,000× 2.71828 (.02×3)< /span>=$1,061.< abarcan clase="mord">84
Tenga en cuenta que esta cantidad es mayor que si el período de capitalización fuera un período discreto, por ejemplo, mensualmente. En este caso, la cantidad de interés se calcularía de manera diferente: FV = PV(1+r/n)nt, donde n es el número de períodos de capitalización en un año (en este caso, 12):
Aquí, la diferencia es solo una cuestión de unos pocos centavos, pero a medida que nuestras sumas aumentan, las tasas de interés aumentan y la cantidad de tiempo se prolonga, la capitalización continua usando la constante de Euler se vuelve cada vez más valiosa en relación con la capitalización discreta.
El número de Euler (e) no debe confundirse con la constante de Euler, denotada por la gamma minúscula (γ). También conocida como la constante de Euler-Mascheroni, esta última está relacionada con la serie armónica y tiene un valor de aproximadamente 0,5772....
La línea de fondo
El número de Euler es una de las constantes más importantes en matemáticas. Aparece con frecuencia en problemas relacionados con el crecimiento o la disminución exponencial, donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población existente. En finanzas, e también se usa en cálculos de interés compuesto, donde la riqueza crece a una tasa establecida con el tiempo.
Corrección: 5 de diciembre de 2021: Una versión anterior de este artículo combinó incorrectamente el número de Euler con la constante de Euler.
Reflejos
Un número irracional denotado por e, el número de Euler es 2.71828..., donde los dígitos continúan para siempre en una serie que nunca termina ni se repite (similar a pi).
En finanzas, el número de Euler se usa para calcular cómo puede crecer la riqueza debido al interés compuesto.
El número de Euler se usa en todo, desde explicar el crecimiento exponencial hasta la descomposición radiactiva.
El número de Euler es una constante importante que se encuentra en muchos contextos y es la base de los logaritmos naturales.
PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
¿Por qué es importante el número de Euler?
El número de Euler aparece con frecuencia en problemas relacionados con el crecimiento o la disminución, donde la tasa de cambio está determinada por el valor actual del número que se mide. Un ejemplo es en biología, donde se espera que las poblaciones bacterianas se dupliquen a intervalos confiables. Otro caso es la datación radiométrica, donde se espera que la cantidad de átomos radiactivos disminuya durante la vida media fija del elemento que se mide.
¿Cuál es exactamente el número de Euler?
En pocas palabras, el número de Euler es la base de una función exponencial cuya tasa de crecimiento siempre es proporcional a su valor presente. La función exponencial ex siempre crece a una tasa de ex, una característica que no se aplica a otras bases y que simplifica enormemente el álgebra que rodea a los exponentes y logaritmos. Este número es irracional, con un valor de aproximadamente 2.71828....
¿Cómo se usa el número de Euler en finanzas?
El número de Euler aparece en problemas relacionados con el interés compuesto. Cuando una inversión ofrece una tasa de interés fija durante un período de tiempo, el valor futuro de esa inversión se puede calcular fácilmente en términos de e.
