Eulers konstant
Hvad er Eulers nummer?
Eulers tal er et matematisk udtryk for bunden af den naturlige logaritme. Det er normalt repræsenteret af bogstavet e og bruges almindeligvis i problemer, der vedrører eksponentiel vækst eller henfald.
En anden måde at fortolke Eulers tal på er som basis for en eksponentiel funktion, hvis værdi altid er lig med dens afledede. Med andre ord er e det eneste mulige tal, således at ex stiger med en hastighed på ex for hver mulig x.
ForstĂĄ Eulers nummer
Selvom den almindeligvis forbindes med Leonhard Euler, blev konstanten først opdaget i 1683 af matematikeren Jacob Bernoulli. Bernoulli forsøgte at bestemme, hvordan rigdommen ville vokse, hvis renten blev forstærket oftere i stedet for på årsbasis.
Forestil dig at låne penge til en rente på 100 %, forhøjet hvert år. Efter et år ville dine penge fordobles. Men hvad nu hvis renten blev halveret og forhøjet dobbelt så ofte? Med 50 % hver sjette måned ville dine penge vokse med 225 % på et år. Efterhånden som intervallet bliver mindre, bliver det samlede afkast lidt højere. Bernoulli fandt ud af, at hvis renten beregnes n gange om året med en sats på 100%/n, ville den samlede optjente formue ved udgangen af det første år være lidt større end 2,7 gange den oprindelige investering hvis n er tilstrækkelig stor.
Nøgleværket omkring konstanten blev dog først udført flere årtier senere af Leonhard Euler. I sin Introductio in Analysin Infinitorum (1748) beviste Euler, at konstanten var et irrationelt tal, hvis cifre aldrig ville gentages. Han beviste også, at konstanten kan repræsenteres som en uendelig sum af inverse faktorialer:
+</ span>...+ n!1 ​​ span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span>
Euler brugte bogstavet e til eksponenter, men bogstavet er nu meget forbundet med hans navn. Det er almindeligt anvendt i en bred vifte af applikationer fra befolkningsvækst af levende organismer til radioaktivt henfald af tunge grundstoffer som uran af nuklear videnskabsmænd. Det har også anvendelser inden for trigonometri, sandsynlighed og andre områder af anvendt matematik.
2,71828
De første cifre i Eulers nummer er 2.71828... selvom tallet i sig selv er en ikke-afsluttende serie, der fortsætter evigt, ligesom pi (3.1415...).
Eulers nummer i finans: Rentesammensætning
Rentesammensatte er blevet hyldet som et "mirakel" af finansiering, hvor renter krediteres ikke kun oprindelige beløb, der er investeret eller deponeret, men også på tidligere modtagne renter. Kontinuerlig rentesammensætning opnås,. når renter geninvesteres over en uendelig lille tidsenhed - og selvom dette praktisk talt er umuligt i den virkelige verden, er dette koncept afgørende for at forstå adfærden af mange forskellige typer finansielle instrumenter fra obligationer til derivatkontrakter.
Sammensat rente på denne måde er beslægtet med eksponentiel vækst og udtrykkes ved følgende formel:
Derfor, hvis du havde $1.000, der betalte 2% rente med kontinuerlig sammensætning, ville du efter 3 år have:
$1,000Ă— 2.71828 (.02Ă—3)< /span>=$1,061.< span class="mord">84
Bemærk, at dette beløb er større, end hvis sammensætningsperioden var en diskret periode, f.eks. på månedsbasis. I dette tilfælde ville rentebeløbet blive beregnet anderledes: FV = PV(1+r/n)nt, hvor n er antallet af sammensatte perioder i et år (i dette tilfælde 12):
Her er forskellen kun et spørgsmål om nogle få cent, men efterhånden som vores summer bliver større, renterne bliver højere, og tiden bliver længere, bliver kontinuerlig sammensætning ved hjælp af Eulers konstant mere og mere værdifuld i forhold til diskret sammensætning.
Eulers tal (e) må ikke forveksles med Eulers konstant, angivet med små bogstaver gamma (γ). Også kendt som Euler-Mascheroni konstanten, sidstnævnte er relateret til harmoniske serier og har en værdi på cirka 0,5772....
Bundlinjen
Eulers tal er en af de vigtigste konstanter i matematik. Det optræder ofte i problemer, der omhandler eksponentiel vækst eller henfald, hvor vækstraten er proportional med den eksisterende befolkning. Inden for finans bruges e også i beregninger af renters rente, hvor formuen vokser med en fastsat hastighed over tid.
Rettelse – 5. december 2021: En tidligere version af denne artikel sammenblandede Eulers tal forkert med Eulers konstant.
Højdepunkter
Et irrationelt tal angivet med e, Eulers tal er 2,71828..., hvor cifrene fortsætter evigt i en serie, der aldrig slutter eller gentager sig (svarende til pi).
Inden for finans bruges Eulers tal til at beregne, hvordan formuen kan vokse pĂĄ grund af renters rente.
Eulers tal bruges i alt fra at forklare eksponentiel vækst til radioaktivt henfald.
Eulers tal er en vigtig konstant, der findes i mange sammenhænge og er basis for naturlige logaritmer.
Ofte stillede spørgsmål
Hvorfor er Eulers nummer vigtigt?
Eulers tal optræder ofte i problemer relateret til vækst eller henfald, hvor ændringshastigheden bestemmes af nutidsværdien af det tal, der måles. Et eksempel er i biologien, hvor bakteriepopulationer forventes at fordobles med pålidelige intervaller. Et andet tilfælde er radiometrisk datering, hvor antallet af radioaktive atomer forventes at falde over den faste halveringstid af det grundstof, der måles.
Hvad er Eulers nummer præcist?
For at sige det enkelt er Eulers tal basen for en eksponentiel funktion, hvis væksthastighed altid er proportional med dens nutidsværdi. Den eksponentielle funktion ex vokser altid med en hastighed på ex, en funktion, der ikke er sand for andre baser, og en, der i høj grad forenkler algebraen omkring eksponenter og logaritmer. Dette tal er irrationelt med en værdi på cirka 2,71828....
Hvordan bruges Eulers nummer i finans?
Eulers nummer vises i problemer relateret til renters rente. Når en investering tilbyder en fast rente over en periode, kan den fremtidige værdi af denne investering nemt beregnes i form af e.
