Eulers konstant

Hva er Eulers nummer?

Eulers tall er et matematisk uttrykk for basisen til den naturlige logaritmen. Det er vanligvis representert med bokstaven e og brukes ofte i problemer knyttet til eksponentiell vekst eller forfall.

En annen måte å tolke Eulers tall på er som basis for en eksponentiell funksjon hvis verdi alltid er lik dens deriverte. Med andre ord, e er det eneste mulige tallet slik at ex øker med en hastighet på ex for hver mulig x.

Forstå Eulers nummer

Selv om den ofte er assosiert med Leonhard Euler, ble konstanten først oppdaget i 1683 av matematikeren Jacob Bernoulli. Bernoulli prøvde å finne ut hvordan rikdommen ville vokse hvis renten ble forsterket oftere, i stedet for på årsbasis.

Tenk deg å låne ut penger til en rente på 100 % forsterket hvert år. Etter ett år vil pengene dine dobles. Men hva om renten ble halvert, og forsterket dobbelt så ofte? Med 50 % hver sjette måned vil pengene dine vokse med 225 % på ett år. Etter hvert som intervallet blir mindre, blir totalavkastningen litt høyere. Bernoulli fant ut at hvis renten beregnes n ganger per år, med en rate på 100%/n, ville den totale akkkrediterte formuen ved slutten av det første året være litt større enn 2,7 ganger den opprinnelige investeringen hvis n er tilstrekkelig stor.

Nøkkelverket rundt konstanten ble imidlertid ikke utført før flere tiår senere, av Leonhard Euler. I sin Introductio in Analysin Infinitorum (1748) beviste Euler at konstanten var et irrasjonelt tall, hvis sifre aldri ville gjenta seg. Han beviste også at konstanten kan representeres som en uendelig sum av inverse faktorialer:

$e = 1 + \frac{ 1 }{ 1 } + \frac { 1 }{ 2 } + \frac { 1 }{ 1 \times 2 \times 3 } + \frac {1 }{ 1 \times 2 \ ganger 3 \times 4 } + ... + \frac { 1 }{ n! }$ ~~+</ span>...+ n!1 < span class="vlist" style="height:0.345em;"></ span >~~

Euler brukte bokstaven e for eksponenter, men bokstaven er nå mye assosiert med navnet hans. Det er ofte brukt i et bredt spekter av bruksområder fra populasjonsvekst av levende organismer til radioaktivt forfall av tunge grunnstoffer som uran av kjernefysiske forskere. Den har også applikasjoner innen trigonometri, sannsynlighet og andre områder av anvendt matematikk.

2,71828

De første sifrene i Eulers nummer er 2.71828..., selv om tallet i seg selv er en ikke-avsluttende serie som varer evig, som pi (3.1415...).

Eulers nummer i finans: Rentesammensatt

Sammensatte renter har blitt hyllet som et "mirakel" av finans, der renter krediteres ikke bare innledende beløp som er investert eller satt inn, men også på tidligere mottatt renter. Kontinuerlig rentesammensetning oppnås når renter reinvesteres over en uendelig liten tidsenhet – og selv om dette er praktisk talt umulig i den virkelige verden, er dette konseptet avgjørende for å forstå oppførselen til mange forskjellige typer finansielle instrumenter fra obligasjoner til derivatkontrakter.

Sammensatt rente på denne måten er beslektet med eksponentiell vekst, og uttrykkes med følgende formel:

$\begin&\text = \text e ^ \&\textbf \&a mp;\text = \text \&\text = \text{Nåværende verdi av saldo eller sum} \&e = \text \&r = \text \&t = \text{Tid i år} \\end$

Derfor, hvis du hadde $ 1000 som betalte 2 % rente med kontinuerlig sammensetning, ville du etter 3 år ha:

$$1 000 \times 2,71828 ^ { ( .02 \times 3 ) } = $1,061,84$

Merk at dette beløpet er større enn hvis sammensetningsperioden var en diskret periode, for eksempel på månedlig basis. I dette tilfellet vil rentebeløpet bli beregnet annerledes: FV = PV(1+r/n)^nt, der n er antall sammensatte perioder i et år (i dette tilfellet 12):

$$1000 \Big ( 1 + \frac { 12 } \Big ) ^ { 12 \ ganger 3 } = $1 061,78$

Her er forskjellen bare et spørsmål om noen få øre, men etter hvert som summene våre blir større, rentene blir høyere, og tiden blir lengre, blir kontinuerlig sammensetning ved bruk av Eulers konstant mer og mer verdifull i forhold til diskret sammensetning.

Eulers tall (e) skal ikke forveksles med Eulers konstant, angitt med små bokstaver gamma (γ). Også kjent som Euler-Mascheroni-konstanten, sistnevnte er relatert til harmoniske serier og har en verdi på omtrent 0,5772....

Bunnlinjen

Eulers tall er en av de viktigste konstantene i matematikk. Det dukker ofte opp i problemer som omhandler eksponentiell vekst eller forfall, der veksthastigheten er proporsjonal med den eksisterende befolkningen. I finans brukes e også i beregninger av rentes rente, der formuen vokser med en fastsatt hastighet over tid.

Korreksjon – 5. desember 2021: En tidligere versjon av denne artikkelen blandet feilaktig Eulers tall med Eulers konstant.

##Høydepunkter

Et irrasjonelt tall betegnet med e, Eulers tall er 2,71828..., hvor sifrene fortsetter for alltid i en serie som aldri slutter eller gjentar seg (ligner på pi).

– I finans brukes Eulers tall for å regne ut hvordan formuen kan vokse på grunn av renters rente.

– Eulers tall brukes i alt fra å forklare eksponentiell vekst til radioaktivt forfall.

– Eulers tall er en viktig konstant som finnes i mange sammenhenger og er grunnlaget for naturlige logaritmer.

##FAQ

Hvorfor er Eulers nummer viktig?

Eulers tall vises ofte i problemer knyttet til vekst eller forfall, der endringshastigheten bestemmes av nåverdien av tallet som måles. Et eksempel er i biologi, hvor bakteriepopulasjoner forventes å dobles med pålitelige intervaller. Et annet tilfelle er radiometrisk datering, hvor antallet radioaktive atomer forventes å avta over den faste halveringstiden til grunnstoffet som måles.

Hva er Eulers nummer nøyaktig?

For å si det enkelt, er Eulers tall basen til en eksponentiell funksjon hvis veksthastighet alltid er proporsjonal med nåverdien. Eksponentialfunksjonen ex vokser alltid med en hastighet på ex, en funksjon som ikke er sann for andre baser og en som i stor grad forenkler algebraen rundt eksponenter og logaritmer. Dette tallet er irrasjonelt, med en verdi på omtrent 2,71828....

Hvordan brukes Eulers nummer i finans?

Eulers tall vises i problemer knyttet til rentes rente. Når en investering tilbyr en fast rente over en periode, kan den fremtidige verdien av investeringen lett beregnes i form av e.