Gitterbasiertes Modell

Was ist ein gitterbasiertes Modell?

Ein gitterbasiertes Modell wird verwendet, um Derivate zu bewerten, indem ein Binomialbaum verwendet wird,. um die verschiedenen Pfade zu berechnen, die der Preis eines zugrunde liegenden Vermögenswerts, wie z. B. einer Aktie, über die Lebensdauer des Derivats nehmen könnte. Ein Binomialbaum stellt die möglichen Werte grafisch dar, die Optionspreise über verschiedene Zeiträume haben können.

Beispiele für Derivate, die mit Lattice-Modellen bewertet werden können, sind Aktienoptionen sowie Futures-Kontrakte auf Rohstoffe und Währungen. Das Gittermodell eignet sich besonders für die Preisgestaltung von Mitarbeiteraktienoptionen (ESO), die eine Reihe einzigartiger Attribute aufweisen.

Verständnis eines gitterbasierten Modells

Gitterbasierte Modelle können erwartete Änderungen verschiedener Parameter wie etwa der Volatilität über die Laufzeit der Optionen berücksichtigen. Die Volatilität ist ein Maß dafür, wie stark der Preis eines Vermögenswerts über einen bestimmten Zeitraum schwankt. Infolgedessen können Gittermodelle genauere Vorhersagen von Optionspreisen liefern als das Black-Scholes- Modell, das das mathematische Standardmodell für die Preisgestaltung von Optionskontrakten war.

Die Flexibilität des gitterbasierten Modells bei der Berücksichtigung erwarteter Volatilitätsänderungen ist unter bestimmten Umständen besonders nützlich, beispielsweise bei der Preisgestaltung von Mitarbeiteroptionen in Unternehmen in der Frühphase. Solche Unternehmen können in Zukunft mit geringerer Volatilität ihrer Aktienkurse rechnen, wenn ihre Geschäfte reifen. Die Annahme kann in ein Gittermodell einfließen, was eine genauere Optionspreisgestaltung ermöglicht als das Black-Scholes-Modell, das von demselben Volatilitätsniveau über die Laufzeit der Option ausgeht.

Das binomiale Optionspreismodell (BOPM) ist eine Lattice-Methode zur Bewertung von Optionen. Der erste Schritt des BOPM besteht darin, den Binomialbaum zu erstellen. Das BOPM basiert auf dem zugrunde liegenden Vermögenswert über einen bestimmten Zeitraum im Vergleich zu einem einzelnen Zeitpunkt. Diese Modelle werden "Gitter" genannt, weil die verschiedenen im Modell visualisierten Schritte wie ein Gitter miteinander verwoben erscheinen können.

Besondere Überlegungen

Ein Gittermodell ist nur ein Modelltyp, der zur Preisbestimmung von Derivaten verwendet wird. Der Name des Modells leitet sich vom Aussehen des Binomialbaums ab, der die möglichen Pfade darstellt, die der Preis des Derivats nehmen kann. Das Black-Scholes-Modell gilt als geschlossenes Modell, das davon ausgeht, dass das Derivat am Ende seiner Laufzeit ausgeübt wird.

Beispielsweise geht das Black-Scholes-Modell – bei der Preisgestaltung von Aktienoptionen – davon aus, dass Mitarbeiter, die Optionen halten, die in zehn Jahren ablaufen, diese bis zum Ablaufdatum nicht ausüben werden. Die Annahme wird als Schwäche des Modells angesehen, da Optionsinhaber sie in der Praxis oft lange vor ihrem Verfall ausüben.

Beispiel eines Binomialbaums

Angenommen, eine Aktie hat einen Preis von 100 $, einen Ausübungspreis der Option von 100 $, ein Ablaufdatum von einem Jahr und einen Zinssatz (r) von 5 %.

Am Ende des Jahres besteht eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass die Aktie auf 125 $ steigt, und eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, dass sie auf 90 $ fällt. Wenn die Aktie auf 125 $ steigt, beträgt der Wert der Option 25 $ (125 $ Aktienkurs minus 100 $ Ausübungspreis) und wenn er auf 90 $ fällt, ist die Option wertlos.

Der Optionswert wird sein:

Optionswert = [(Anstiegswahrscheinlichkeit * Aufwärtswert) + (Abstiegswahrscheinlichkeit * Abwärtswert)] / (1 + r) = [(0,50 * 25 $) + (0,50 * 0 $)] / (1 + 0,05) = 11,90 $.

Höhepunkte

Zur Bewertung von Derivaten, d. h. Finanzinstrumenten, die ihren Preis von einem zugrunde liegenden Vermögenswert ableiten, wird ein gitterbasiertes Modell verwendet.
Gitterbasierte Modelle können erwartete Änderungen verschiedener Parameter wie etwa der Volatilität während der Laufzeit einer Option berücksichtigen.
Gittermodelle verwenden Binomialbäume, um die verschiedenen Pfade aufzuzeigen, die der Preis eines Basiswertes über die Lebensdauer des Derivats nehmen könnte.