Investor's wiki

Биномиальное дерево

Биномиальное дерево

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ биномиальноС Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ?

Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ β€” это графичСскоС прСдставлСниС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ,. ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ·Π»Π°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π°Ρ… Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½Π° зависит ΠΎΡ‚ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π»ΠΈΠ³Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π° ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½Π° Π² любом ΡƒΠ·Π»Π΅ зависит ΠΎΡ‚ вСроятности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Π° Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ увСличится Π² любом Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΠ·Π»Π΅.

Как Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ биномиальноС Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ

Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ являСтся ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ инструмСнтом ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ΅ амСриканских ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈ встроСнных ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². Π•Π³ΠΎ простота являСтся Π΅Π³ΠΎ прСимущСством ΠΈ нСдостатком ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π”Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ мСханичСски, Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… значСниях, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄.

Π’ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ биномиального Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π° Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ любоС количСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² любом Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ позволяСт инвСсторам ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½. ΠžΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ исполнСния, Ссли ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ сообраТСния

Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ модСль цСнообразования ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² (BOPM) β€” это ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ шагом BOPM являСтся построСниС биномиального Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π°. BOPM основан Π½Π° Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π΅ Π·Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π° Π½Π΅ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

Π’ биномиальной ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ цСнообразования ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСсколько основных Π΄ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‹, ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π½ΠΈΠ·. Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ² Π½Π΅ приносит Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π½Π΄ΠΎΠ². Π’-Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠΈΡ…, процСнтная ставка постоянна, Π²-Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹Ρ…, ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π½Π·Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ·Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠΈ.

Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ ΠΈ модСль Блэка-Π¨ΠΎΡƒΠ»Π·Π°

МодСль Блэка-Π¨ΠΎΡƒΠ»Π·Π° β€” Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². ВычислСниС Ρ†Π΅Π½Ρ‹ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ биномиального Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π° выполняСтся ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Блэка-Π¨ΠΎΡƒΠ»Π·Π°. Однако биномиальноС Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ ΠΈ BOPM Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ особСнно Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для долгосрочных ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠΌΠ°Π³, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠ»Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π½Π΄Ρ‹.

МодСль Блэка-Π¨ΠΎΡƒΠ»Π·Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎ слоТных Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ… ΠΈ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°Ρ… с большим количСством нСопрСдСлСнностСй. Когда Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ СвропСйских ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Π±Π΅Π· Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π½Π΄ΠΎΠ², Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ биномиальной ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Блэка-Π¨ΠΎΡƒΠ»Π·Π° сходятся ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ увСличСния Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… шагов.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ биномиального Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π°

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ акция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ†Π΅Π½Ρƒ 100 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², Ρ†Π΅Π½Ρƒ исполнСния ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½Π° 100 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², Π΄Π°Ρ‚Ρƒ истСчСния срока дСйствия ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π³ΠΎΠ΄ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ставку (r) 5%.

Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ Π³ΠΎΠ΄Π° сущСствуСт 50-процСнтная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вырастут Π΄ΠΎ 125 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², ΠΈ 50-процСнтная Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠΏΠ°Π΄ΡƒΡ‚ Π΄ΠΎ 90 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ². Если Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вырастут Π΄ΠΎ 125 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½Π° составит 25 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² (125 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² Π·Π° Π°ΠΊΡ†ΠΈΡŽ минус 100 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² Π·Π° исполнСниС), Π° Ссли ΠΎΠ½Π° ΡƒΠΏΠ°Π΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ 90 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ², ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ обСсцСнится.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚:

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΈ = [(Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста * Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…) + (Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ падСния * Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΠΈΠ·)] / (1 + r) = [(0,50 * 25 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² БША) + (0,50 * 0 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² БША)] / (1 + 0,05) = 11,90 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ² БША. .

ΠžΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ

  • Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎ прСдставляСт собой прСдставлСниС Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ стоимости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

  • Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

  • Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΎΠ½Π° Π² любом ΡƒΠ·Π»Π΅ зависит ΠΎΡ‚ вСроятности Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π½Π° Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ увСличится Π² любом Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΠ·Π»Π΅.