Gesetz der großen Zahlen
Was ist das Gesetz der großen Zahlen?
Das Gesetz der großen Zahlen in Wahrscheinlichkeit und Statistik besagt, dass sich der Mittelwert mit zunehmender Stichprobengröße dem Durchschnitt der gesamten Bevölkerung annähert. Im 16. Jahrhundert erkannte die Mathematikerin Gerolama Cardano das Gesetz der großen Zahlen, bewies es aber nie. 1713 bewies der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli diesen Satz in seinem Buch Ars Conjectandi. Es wurde später von anderen bekannten Mathematikern wie Pafnuty Chebyshev, dem Gründer der mathematischen Schule in St. Petersburg, verfeinert.
Im finanziellen Kontext zeigt das Gesetz der großen Zahlen, dass ein großes Unternehmen, das schnell wächst, dieses Wachstumstempo nicht ewig aufrechterhalten kann. Als Beispiele für dieses Phänomen werden häufig die größten Blue Chips mit Marktwerten in dreistelliger Milliardenhöhe genannt.
Das Gesetz der großen Zahlen verstehen
In der statistischen Analyse kann das Gesetz der großen Zahlen auf eine Vielzahl von Themen angewendet werden. Es ist möglicherweise nicht möglich, jede Person innerhalb einer bestimmten Population zu befragen, um die erforderliche Datenmenge zu sammeln, aber jeder zusätzliche gesammelte Datenpunkt kann die Wahrscheinlichkeit erhöhen, dass das Ergebnis ein echtes Maß für den Mittelwert ist.
In der Wirtschaft wird manchmal der Begriff „Gesetz der großen Zahl“ im Zusammenhang mit Wachstumsraten verwendet, die in Prozent angegeben werden. Es deutet darauf hin, dass es mit der Expansion eines Unternehmens immer schwieriger wird, die prozentuale Wachstumsrate aufrechtzuerhalten.
Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet nicht, dass eine bestimmte Stichprobe oder Gruppe aufeinanderfolgender Stichproben immer die wahren Populationsmerkmale widerspiegelt, insbesondere bei kleinen Stichproben. Dies bedeutet auch, dass das Gesetz der großen Zahlen nicht garantiert, dass nachfolgende Stichproben den beobachteten Durchschnitt in Richtung des Populationsmittelwerts verschieben, wenn eine bestimmte Stichprobe oder eine Reihe von Stichproben vom wahren Bevölkerungsdurchschnitt abweicht (wie vom Gambler 's Fallacy nahegelegt ).
Das Gesetz der großen Zahlen darf nicht mit dem Gesetz der Durchschnittswerte verwechselt werden, das besagt, dass die Verteilung der Ergebnisse in einer Stichprobe (groß oder klein) die Verteilung der Ergebnisse der Grundgesamtheit widerspiegelt.
Das Gesetz der großen Zahlen und statistische Analyse
Wenn jemand den Durchschnittswert eines Datensatzes von 100 möglichen Werten bestimmen möchte, erreicht er eher einen genauen Durchschnitt, indem er 20 Datenpunkte auswählt, anstatt sich auf nur zwei zu verlassen. Wenn der Datensatz beispielsweise alle ganzen Zahlen von eins bis 100 enthält und der Stichprobennehmer nur zwei Werte gezogen hat, z. B. 95 und 40, kann er den Durchschnitt auf ungefähr 67,5 bestimmen. Wenn er weiterhin Zufallsstichproben von bis zu 20 Variablen nimmt, sollte sich der Durchschnitt in Richtung des wahren Durchschnitts verschieben, wenn er mehr Datenpunkte berücksichtigt.
Gesetz der großen Zahlen und Unternehmenswachstum
In Wirtschaft und Finanzen wird dieser Begriff manchmal umgangssprachlich verwendet, um auf die Beobachtung zu verweisen, dass exponentielle Wachstumsraten oft nicht skalieren. Dies hängt eigentlich nicht mit dem Gesetz der großen Zahl zusammen, sondern kann eine Folge des Gesetzes des abnehmenden Grenzertrags oder von Skaleneffekten sein.
Beispielsweise wurden im Januar 2020 die von Walmart Inc. erzielten Einnahmen mit 523,9 Milliarden US-Dollar verbucht, während Amazon.com Inc. im gleichen Zeitraum 280,5 Milliarden US-Dollar einbrachte. Wenn Walmart die Einnahmen um ungefähr 50 % steigern wollte 262 Milliarden Dollar an Einnahmen wären erforderlich. Im Gegensatz dazu müsste Amazon den Umsatz nur um 140,2 Milliarden US-Dollar steigern, um eine Steigerung von 50 % zu erreichen. Basierend auf dem Gesetz der großen Zahl wäre die 50-prozentige Steigerung für Walmart schwieriger zu erreichen als für Amazon.
Die gleichen Prinzipien können auf andere Metriken wie Marktkapitalisierung oder Nettogewinn angewendet werden. Infolgedessen können Anlageentscheidungen auf der Grundlage der damit verbundenen Schwierigkeiten geleitet werden, die Unternehmen mit sehr hoher Marktkapitalisierung in Bezug auf die Wertsteigerung von Aktien haben können.
Höhepunkte
Das Gesetz der großen Zahlen garantiert nicht, dass eine bestimmte Stichprobe, insbesondere eine kleine Stichprobe, die wahren Populationsmerkmale widerspiegelt oder dass eine Stichprobe, die nicht die wahre Population widerspiegelt, durch eine nachfolgende Stichprobe ausgeglichen wird.
In der Wirtschaft wird der Begriff „Gesetz der großen Zahl“ manchmal in einem anderen Sinn verwendet, um die Beziehung zwischen Größe und Wachstumsraten auszudrücken.
Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass ein beobachteter Stichprobendurchschnitt aus einer großen Stichprobe nahe am wahren Bevölkerungsdurchschnitt liegt und dass er näher kommt, je größer die Stichprobe ist.
