Crescita esponenziale

Che cos'è la crescita esponenziale?

La crescita esponenziale è un modello di dati che mostra incrementi maggiori con il passare del tempo, creando la curva di una funzione esponenziale.

Ad esempio, supponiamo che una popolazione di topi aumenti esponenzialmente di un fattore due all'anno iniziando con 2 nel primo anno, quindi 4 nel secondo anno, 8 nel terzo anno, 16 nel quarto anno e così via. In questo caso la popolazione cresce di un fattore 2 ogni anno. Se invece i topi partoriscono quattro cuccioli, ne avresti 4, poi 16, poi 64, poi 256.

La crescita esponenziale (che è moltiplicativa) può essere contrastata con la crescita lineare (che è additiva) e con la crescita geometrica (che è elevata a potenza).

Capire la crescita esponenziale

In finanza, i rendimenti composti causano una crescita esponenziale. Il potere del compounding è una delle forze più potenti della finanza. Questo concetto consente agli investitori di creare grandi somme con poco capitale iniziale. I conti di risparmio che portano un tasso di interesse composto sono esempi comuni di crescita esponenziale.

Applicazioni della crescita esponenziale

Supponi di depositare $ 1.000 in un conto che guadagna un tasso di interesse garantito del 10%. Se il conto ha un tasso di interesse semplice,. guadagnerai $ 100 all'anno. L'importo degli interessi pagati non cambierà finché non vengono effettuati depositi aggiuntivi.

Se il conto prevede un tasso di interesse composto, tuttavia, guadagnerai interessi sul totale cumulativo del conto. Ogni anno, il prestatore applicherà il tasso di interesse alla somma del deposito iniziale, insieme agli eventuali interessi precedentemente pagati. Nel primo anno, l'interesse guadagnato è ancora del 10% o $ 100. Nel secondo anno, invece, il tasso del 10% viene applicato al nuovo totale di $ 1.100, ottenendo $ 110. Con ogni anno successivo, l'importo degli interessi pagati cresce, creando una crescita in rapida accelerazione o esponenziale. Dopo 30 anni, senza altri depositi richiesti, il tuo account varrebbe $ 17.449,40.

La formula per la crescita esponenziale

Su un grafico, questa curva inizia lentamente, rimane quasi piatta per un po' prima di aumentare rapidamente per apparire quasi verticale. Segue la formula:

Il valore attuale, V, di un punto di partenza iniziale soggetto a crescita esponenziale, può essere determinato moltiplicando il valore di partenza, S, per la somma di uno più il tasso di interesse, R, elevato alla potenza di T, ovvero il numero di periodi trascorsi.

Considerazioni speciali

Sebbene la crescita esponenziale sia spesso utilizzata nella modellazione finanziaria, la realtà è spesso più complicata. L'applicazione della crescita esponenziale funziona bene nell'esempio di un conto di risparmio perché il tasso di interesse è garantito e non cambia nel tempo. Nella maggior parte degli investimenti, questo non è il caso. Ad esempio, i rendimenti del mercato azionario non seguono regolarmente le medie a lungo termine ogni anno.

Altri metodi per prevedere i rendimenti a lungo termine, come la simulazione Monte Carlo, che utilizza le distribuzioni di probabilità per determinare la probabilità di diversi esiti potenziali, hanno visto una popolarità crescente. I modelli di crescita esponenziale sono più utili per prevedere i rendimenti degli investimenti quando il tasso di crescita è stabile.

Mette in risalto

• I conti di risparmio con un tasso di interesse composto possono mostrare una crescita esponenziale.

• In finanza, la capitalizzazione crea rendimenti esponenziali.

• La crescita esponenziale è un modello di dati che mostra aumenti più marcati nel tempo.