Simulation de Monte-Carlo

Qu'est-ce qu'une simulation de Monte-Carlo ?

Les simulations de Monte Carlo sont utilisées pour modéliser la probabilité de différents résultats dans un processus qui ne peut pas être facilement prédit en raison de l'intervention de variables aléatoires. Il s'agit d'une technique utilisée pour comprendre l'impact du risque et de l'incertitude dans les modèles de prédiction et de prévision.

Une simulation de Monte Carlo peut être utilisée pour résoudre une série de problèmes dans pratiquement tous les domaines tels que la finance, l'ingénierie, la chaîne d'approvisionnement et la science. On parle aussi de simulation à probabilités multiples.

Comprendre les simulations de Monte Carlo

Face à une incertitude importante dans le processus de réalisation d'une prévision ou d'une estimation, plutôt que de simplement remplacer la variable incertaine par un seul nombre moyen, la simulation de Monte Carlo pourrait s'avérer être une meilleure solution en utilisant plusieurs valeurs.

Étant donné que les affaires et la finance sont en proie à des variables aléatoires, les simulations de Monte Carlo ont un vaste éventail d'applications potentielles dans ces domaines. Ils sont utilisés pour estimer la probabilité de dépassements de coûts dans les grands projets et la probabilité que le prix d'un actif évolue d'une certaine manière.

Les télécoms les utilisent pour évaluer les performances du réseau dans différents scénarios, les aidant à optimiser le réseau. Les analystes les utilisent pour évaluer le risque de défaillance d'une entité et pour analyser des produits dérivés tels que des options.

Les assureurs et les foreurs de puits de pétrole les utilisent également. Les simulations de Monte Carlo ont d'innombrables applications en dehors des affaires et de la finance, comme la météorologie, l'astronomie et la physique des particules.

Historique de la simulation de Monte-Carlo

Les simulations de Monte Carlo portent le nom de la destination de jeu populaire à Monaco, car le hasard et les résultats aléatoires sont au cœur de la technique de modélisation, tout comme ils le sont pour des jeux comme la roulette, les dés et les machines à sous.

La technique a été développée pour la première fois par Stanislaw Ulam, un mathématicien qui a travaillé sur le projet Manhattan. Après la guerre, alors qu'il se remettait d'une opération au cerveau, Ulam s'est amusé en jouant à d'innombrables parties de solitaire. Il s'est intéressé à tracer le résultat de chacun de ces jeux afin d'observer leur distribution et de déterminer la probabilité de gagner. Après avoir partagé son idée avec John Von Neumann, les deux ont collaboré pour développer la simulation de Monte Carlo.

Méthode de simulation de Monte Carlo

La base d'une simulation de Monte Carlo est que la probabilité de résultats variables ne peut pas être déterminée en raison de l'interférence de variables aléatoires. Par conséquent, une simulation de Monte Carlo se concentre sur la répétition constante d'échantillons aléatoires pour obtenir certains résultats.

Une simulation de Monte Carlo prend la variable qui a une incertitude et lui attribue une valeur aléatoire. Le modèle est ensuite exécuté et un résultat est fourni. Ce processus est répété encore et encore tout en attribuant à la variable en question de nombreuses valeurs différentes. Une fois la simulation terminée, les résultats sont moyennés ensemble pour fournir une estimation.

Calcul d'une simulation de Monte Carlo dans Excel

Une façon d'employer une simulation de Monte Carlo consiste à modéliser les mouvements possibles des prix des actifs à l'aide d'Excel ou d'un programme similaire. Le mouvement du prix d'un actif comporte deux composantes : la dérive, qui est un mouvement directionnel constant, et une entrée aléatoire, qui représente la volatilité du marché.

En analysant les données de prix historiques, vous pouvez déterminer la dérive, l'écart type,. la variance et le mouvement de prix moyen d'un titre. Ce sont les éléments de base d'une simulation de Monte Carlo.

Pour projeter une trajectoire de prix possible, utilisez les données de prix historiques de l'actif pour générer une série de rendements quotidiens périodiques en utilisant le logarithme naturel (notez que cette équation diffère de la formule habituelle de variation en pourcentage) :

$\begin &\text = ln \left ( \frac{ \text }{ \text{Prix du jour précédent} } \right ) \ \ end$

Utilisez ensuite les fonctions AVERAGE, STDEV.P et VAR.P sur l'ensemble de la série résultante pour obtenir respectivement les entrées de rendement quotidien moyen, d'écart type et de variance. La dérive est égale à :

$\begin &\ text{Dérive} = \text - \frac{ \text }{ 2 } \ &\textbf{où :} \ &\text = \text{ Produit à partir d'Excel's} \ &\text{Fonction MOYENNE à partir de r quotidien périodique eturns series} \ &\text = \text{Produced from Excel's} \ &\text{VAR.P function from périodique daily return series} \ \end</ annotation>$< span class="col-align-l">Dérive =Rendement quotidien moyen−2Variance< /span>​< /span>où :Rendement quotidien moyen= Produit à partir d'Excel Fonction MOYENNE de la série de rendements quotidiens périodiquesVariance=< span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em ;">Produit à partir d'Excel < span class="mord">Fonction VAR.P de la série de rendements quotidiens périodiques< /span>​</sp an>

Alternativement, la dérive peut être définie sur 0 ; ce choix reflète une certaine orientation théorique, mais la différence ne sera pas énorme, du moins pour des échéances plus courtes.

Ensuite, obtenez une entrée aléatoire :

$\begin &\text{Valeur aléatoire} = \ sigma \times \text{NORMSINV(RAND())} \ &\textbf{où :} \ &\sigma = \text{Écart type, produit à partir d'Excel's} \ &\text {Fonction STDEV.P de la série des retours quotidiens périodiques} \ &\text = \text \ \end$</ span> Valeur aléatoire=σ×NORMSINV(RAND())où :σ=< span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em ;">Écart type, produit à partir d'Excel< /span>Fonction STDEV.P de la série de retours quotidiens périodiques</ span>NORMSINV et RAND=Fonctions Excel< /span>​

L'équation du prix du jour suivant est :

$\begin &\text = \text{Prix d'aujourd'hui} \times e^{ ( \text {Dérive} + \text{Valeur aléatoire} ) }\ \end$​ Prix du jour suivant =Aujourd'hui Prix×e(Dérive+ Valeur aléatoire)​</spa n>

Pour amener e à une puissance donnée x dans Excel, utilisez la fonction EXP : EXP(x). Répétez ce calcul le nombre de fois souhaité (chaque répétition représente un jour) pour obtenir une simulation du mouvement futur des prix. En générant un nombre arbitraire de simulations, vous pouvez évaluer la probabilité que le cours d'un titre suive une trajectoire donnée.

Considérations particulières

Les fréquences des différents résultats générés par cette simulation formeront une distribution normale,. c'est-à-dire une courbe en cloche. Le rendement le plus probable se situe au milieu de la courbe, ce qui signifie qu'il y a une chance égale que le rendement réel soit supérieur ou inférieur à cette valeur.

La probabilité que le rendement réel soit à moins d'un écart-type du taux le plus probable ("attendu") est de 68 %, tandis que la probabilité qu'il soit à moins de deux écarts-types est de 95 %, et qu'il soit à moins de trois écarts-types. 99,7 %. Pourtant, rien ne garantit que le résultat le plus attendu se produira ou que les mouvements réels ne dépasseront pas les projections les plus folles.

Fondamentalement, les simulations de Monte Carlo ignorent tout ce qui n'est pas intégré au mouvement des prix ( tendances macro,. leadership de l'entreprise, battage médiatique, facteurs cycliques ) ; en d'autres termes, ils supposent des marchés parfaitement efficients.

Points forts

• Les simulations de Monte Carlo aident à expliquer l'impact du risque et de l'incertitude dans les modèles de prédiction et de prévision.

• La base d'une simulation de Monte Carlo consiste à attribuer plusieurs valeurs à une variable incertaine pour obtenir plusieurs résultats, puis à faire la moyenne des résultats pour obtenir une estimation.

• Les simulations de Monte Carlo supposent des marchés parfaitement efficients.

• Divers domaines utilisent les simulations de Monte Carlo, notamment la finance, l'ingénierie, la chaîne d'approvisionnement et la science.

• Une simulation de Monte Carlo est un modèle utilisé pour prédire la probabilité de différents résultats lorsque l'intervention de variables aléatoires est présente.