Monte-Carlo-Simulation

Was ist eine Monte-Carlo-Simulation?

Monte-Carlo-Simulationen werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse in einem Prozess zu modellieren, der aufgrund des Eingreifens von Zufallsvariablen nicht einfach vorhergesagt werden kann. Es ist eine Technik, die verwendet wird, um die Auswirkungen von Risiken und Unsicherheiten in Vorhersage- und Prognosemodellen zu verstehen.

Eine Monte-Carlo-Simulation kann verwendet werden, um eine Reihe von Problemen in praktisch allen Bereichen wie Finanzen, Ingenieurwesen, Lieferkette und Wissenschaft anzugehen. Sie wird auch als Mehrwahrscheinlichkeitssimulation bezeichnet.

Monte-Carlo-Simulationen verstehen

Wenn bei der Erstellung einer Prognose oder Schätzung erhebliche Unsicherheiten auftreten, kann sich die Monte-Carlo-Simulation durch die Verwendung mehrerer Werte als bessere Lösung erweisen, anstatt nur die unsichere Variable durch eine einzelne Durchschnittszahl zu ersetzen.

Da Geschäfts- und Finanzwesen von Zufallsvariablen heimgesucht werden, haben Monte-Carlo-Simulationen ein breites Spektrum an potenziellen Anwendungen in diesen Bereichen. Sie werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit von Kostenüberschreitungen bei großen Projekten und die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Vermögenspreis in einer bestimmten Weise bewegt, abzuschätzen.

Telekommunikationsunternehmen verwenden sie, um die Netzwerkleistung in verschiedenen Szenarien zu bewerten und ihnen dabei zu helfen, das Netzwerk zu optimieren. Analysten verwenden sie, um das Ausfallrisiko eines Unternehmens einzuschätzen und Derivate wie Optionen zu analysieren.

Auch Versicherer und Ölbohrer nutzen sie. Monte-Carlo-Simulationen haben unzählige Anwendungen außerhalb von Wirtschaft und Finanzen, beispielsweise in der Meteorologie, Astronomie und Teilchenphysik.

Geschichte der Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-Simulationen sind nach dem beliebten Ziel für Glücksspiele in Monaco benannt, da Zufall und zufällige Ergebnisse für die Modellierungstechnik von zentraler Bedeutung sind, ähnlich wie bei Spielen wie Roulette, Würfeln und Spielautomaten.

Die Technik wurde zuerst von Stanislaw Ulam entwickelt, einem Mathematiker, der am Manhattan-Projekt arbeitete. Nach dem Krieg, während er sich von einer Gehirnoperation erholte, unterhielt sich Ulam mit unzähligen Spielen von Solitaire. Er begann sich dafür zu interessieren, das Ergebnis jedes dieser Spiele aufzuzeichnen, um ihre Verteilung zu beobachten und die Gewinnwahrscheinlichkeit zu bestimmen. Nachdem er seine Idee mit John von Neumann geteilt hatte, arbeiteten die beiden an der Entwicklung der Monte-Carlo-Simulation.

Monte-Carlo-Simulationsverfahren

Die Grundlage einer Monte-Carlo-Simulation besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse aufgrund zufälliger variabler Interferenzen nicht bestimmt werden kann. Daher konzentriert sich eine Monte-Carlo-Simulation darauf, Zufallsstichproben ständig zu wiederholen, um bestimmte Ergebnisse zu erzielen.

Eine Monte-Carlo-Simulation nimmt die Variable mit Unsicherheit und weist ihr einen zufälligen Wert zu. Das Modell wird dann ausgeführt und ein Ergebnis bereitgestellt. Dieser Vorgang wird immer wieder wiederholt, während der betreffenden Variablen viele verschiedene Werte zugewiesen werden. Sobald die Simulation abgeschlossen ist, werden die Ergebnisse gemittelt, um eine Schätzung bereitzustellen.

Berechnung einer Monte-Carlo-Simulation in Excel

Eine Möglichkeit, eine Monte-Carlo-Simulation einzusetzen, besteht darin, mögliche Bewegungen von Vermögenspreisen mit Excel oder einem ähnlichen Programm zu modellieren. Die Preisbewegung eines Vermögenswerts besteht aus zwei Komponenten: Drift, bei der es sich um eine konstante Richtungsbewegung handelt, und einem zufälligen Input, der die Marktvolatilität darstellt.

Durch die Analyse historischer Preisdaten können Sie Drift, Standardabweichung,. Varianz und durchschnittliche Preisbewegung eines Wertpapiers bestimmen. Dies sind die Bausteine einer Monte-Carlo-Simulation.

Um einen möglichen Preisverlauf zu projizieren, verwenden Sie die historischen Preisdaten des Vermögenswerts, um eine Reihe periodischer täglicher Renditen unter Verwendung des natürlichen Logarithmus zu generieren (beachten Sie, dass diese Gleichung von der üblichen Formel für die prozentuale Veränderung abweicht):

$\begin &\text = ln \left ( \frac{ \text }{ \text } \right ) \ \ end$

Verwenden Sie als Nächstes die Funktionen AVERAGE, STDEV.P und VAR.P für die gesamte resultierende Reihe, um die Eingaben für die durchschnittliche tägliche Rendite, die Standardabweichung bzw. die Varianz zu erhalten. Die Drift ist gleich:

$\begin &\ text = \text{Durchschnittliche tägliche Rendite} - \frac{ \text }{ 2 } \ &\textbf \ &\text{Durchschnittliche tägliche Rendite} = \text{ Produziert aus Excel's} \ &\text \ &\text = \text{Erzeugt aus Excel's} \ &\text{VAR.P-Funktion aus periodischen täglichen Ertragsreihen} \ \end</ Anmerkung>$ Drift =Durchschnittliche Tagesrendite−<span-Klasse ="mord">2Varianzwobei:<span-Klasse ="mord text">Durchschnittliche Tagesrendite=Erzeugt aus Excel AVERAGE-Funktion aus regelmäßigen täglichen RenditereihenVarianz=Erstellt aus Excel VAR.P-Funktion aus periodischen täglichen Renditeserien</sp an>

Alternativ kann Drift auf 0 gesetzt werden; Diese Wahl spiegelt eine gewisse theoretische Ausrichtung wider, aber der Unterschied wird zumindest für kürzere Zeiträume nicht groß sein.

Als nächstes erhalten Sie eine zufällige Eingabe:

$\begin &\text = \ sigma \times \text{NORMSINV(RAND())} \ &\textbf \ &\sigma = \text{Standardabweichung, erzeugt aus Excel's} \ &\text {STDEV.P-Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen} \ &\text = \text \ \end$ Zufallswert=σ×NORMSINV(RAND())wobei:σ=Standardabweichung, erstellt aus ExcelSTABW.P-Funktion aus periodischen täglichen Renditereihen<span-Klasse ="mord">NORMSINV und RAND=Excel-Funktionen

Die Gleichung für den Preis des Folgetages lautet:

$\begin &\text{Preis des nächsten Tages} = \text \times e^{ ( \text + \text ) }\ \end$

Um e in eine gegebene Potenz x in Excel zu bringen, verwenden Sie die EXP-Funktion: EXP(x). Wiederholen Sie diese Berechnung so oft wie gewünscht (jede Wiederholung entspricht einem Tag), um eine Simulation zukünftiger Preisbewegungen zu erhalten. Indem Sie eine beliebige Anzahl von Simulationen erstellen, können Sie die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass der Preis eines Wertpapiers einer bestimmten Flugbahn folgt.

Besondere Überlegungen

Die Häufigkeiten unterschiedlicher Ergebnisse, die durch diese Simulation generiert werden, bilden eine Normalverteilung,. d. h. eine Glockenkurve. Die wahrscheinlichste Rendite liegt in der Mitte der Kurve, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit gleich ist, dass die tatsächliche Rendite über oder unter diesem Wert liegt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die tatsächliche Rendite innerhalb einer Standardabweichung von der wahrscheinlichsten ("erwarteten") Rate liegt, beträgt 68 %, während die Wahrscheinlichkeit, dass sie innerhalb von zwei Standardabweichungen liegt, 95 % beträgt und dass sie innerhalb von drei Standardabweichungen liegt 99,7 %. Dennoch gibt es keine Garantie dafür, dass das am meisten erwartete Ergebnis eintreten wird oder dass die tatsächlichen Bewegungen die wildesten Prognosen nicht überschreiten werden.

Entscheidend ist, dass Monte-Carlo-Simulationen alles ignorieren, was nicht in die Preisbewegung eingebaut ist ( Makrotrends,. Unternehmensführung, Hype, zyklische Faktoren ); mit anderen Worten, sie gehen von vollkommen effizienten Märkten aus.

Höhepunkte

Monte-Carlo-Simulationen helfen, die Auswirkungen von Risiken und Unsicherheiten in Vorhersage- und Prognosemodellen zu erklären.
Die Grundlage einer Monte-Carlo-Simulation besteht darin, einer unsicheren Variablen mehrere Werte zuzuweisen, um mehrere Ergebnisse zu erzielen, und dann die Ergebnisse zu mitteln, um eine Schätzung zu erhalten.
Monte-Carlo-Simulationen gehen von vollkommen effizienten Märkten aus.
Eine Vielzahl von Bereichen nutzt Monte-Carlo-Simulationen, darunter Finanzen, Ingenieurwesen, Lieferkette und Wissenschaft.
Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Modell, das verwendet wird, um die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ergebnisse vorherzusagen, wenn das Eingreifen von Zufallsvariablen vorhanden ist.