Heston modell

Hva er Heston-modellen?

Heston-modellen, oppkalt etter Steve Heston, er en type stokastisk volatilitetsmodell som brukes til å prise europeiske opsjoner.

Forstå Heston-modellen

Heston-modellen, utviklet av førsteamanuensis Steven Heston i 1993, er en opsjonsprisingsmodell som kan brukes til å prise opsjoner på ulike verdipapirer. Den kan sammenlignes med den mer populære Black-Scholes opsjonsprismodell.

Totalt sett brukes opsjonsprisingsmodeller av avanserte investorer for å estimere og måle prisen på et bestemt opsjon, som handler på et underliggende verdipapir på finansmarkedet. Opsjoner, akkurat som deres underliggende sikkerhet, vil ha priser som endres gjennom handelsdagen. Opsjonsprisingsmodeller søker å analysere og integrere variablene som forårsaker fluktuasjoner i opsjonspriser for å identifisere den beste opsjonsprisen for investering.

Som en stokastisk volatilitetsmodell bruker Heston-modellen statistiske metoder for å beregne og forutsi opsjonsprising med antagelsen om at volatiliteten er vilkårlig. Antakelsen om at volatilitet er vilkårlig, snarere enn konstant, er nøkkelfaktoren som gjør stokastiske volatilitetsmodeller unike. Andre typer stokastiske volatilitetsmodeller inkluderer SABR-modellen, Chen-modellen og GARCH - modellen.

Nøkkelforskjeller

Heston-modellen har egenskaper som skiller den fra andre stokastiske volatilitetsmodeller, nemlig:

Det tar hensyn til en mulig korrelasjon mellom en aksjes pris og dens volatilitet.
Det formidler volatilitet som å gå tilbake til gjennomsnittet.
Det gir en lukket form løsning, det vil si at svaret er utledet fra et akseptert sett av matematiske operasjoner.

– Det krever ikke at aksjekursene følger en lognormal sannsynlighetsfordeling.

Heston-modellen er også en type volatilitetssmilemodell. "Smil" refererer til volatilitetssmilet, en grafisk representasjon av flere alternativer med identiske utløpsdatoer som viser økende volatilitet ettersom opsjonene blir mer i pengene (ITM) eller out-of -the-money (OTM). Smilmodellens navn stammer fra den konkave formen på grafen, som ligner et smil.

Heston modellmetodikk

Heston-modellen er en lukket løsning for prisalternativer som søker å overvinne noen av manglene som presenteres i Black-Scholes opsjonsprismodell. Heston-modellen er et verktøy for avanserte investorer.

Beregningen er som følger:

$\begin &dS_t = rS_tdt + \sqrt S_tdW_{1t} \ &dV_t = k ( \theta - V_t ) dt+ \sigma \sqrt dW_{2t} \ &\textbf \ &S_t = \text{aktivapris på tidspunktet } t \ &r = \text{risikofri rente -- teoretisk rente på en} \ &\text \ &\sqrt = \text{ volatilitet (standardavvik) til eiendelsprisen} \ &\sigma = \text \sqrt \ &\theta = \text \ &k = \text{tilbakeføringshastighet til } \theta \ &dt = \text{uendelig liten positiv tidsøkning} \ &W_{1t} = \text \ &W_ {2t} = \text \ \end$

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3.512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/> St dW 1t d Vt=k(θ−V t ) span>dt+σVt

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3.512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>dW2thvor: S t=aktivepris til tiden tr= risikofri rente – teoretisk rente på en eiendel uten risikoVt

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3.512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>=volatilitet (standardavvik) til aktivaprisenσ=volatilitet av Vt < svg width='400e m' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3.512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/> θ=langsiktig prisavvikk=~~hastighet for tilbakeføring til θ~~dt=uendelig liten positiv tidsøkning W1t=brownsk bevegelse av aktivaprisenW 2t=Brownsk bevegelse av eiendelens prisavvik span class="vlist" style="height:9.821079999999998em;">

Heston Model vs. Black-Scholes

Black-Scholes-modellen for opsjonsprising ble introdusert på 1970-tallet og fungerte som en av de første modellene for å hjelpe investorer med å utlede en pris knyttet til en opsjon på et verdipapir. Generelt bidro det til å fremme opsjonsinvestering da det skapte en modell for å analysere prisen på opsjoner på ulike verdipapirer.

Både Black-Scholes- og Heston-modellen er basert på underliggende beregninger som kan kodes og programmeres gjennom avanserte Excel eller andre kvantitative systemer. Black-Scholes kjøpsopsjonsformel beregnes ved å multiplisere aksjekursen med den kumulative standard normal sannsynlighetsfordelingsfunksjonen.

Deretter trekkes netto nåverdi (NPV) av innløsningsprisen multiplisert med den kumulative standard normalfordelingen fra den resulterende verdien av forrige beregning.

I matematisk notasjon,

Ring = S * N(d₁) – K_e^{(-r * T) * N(d}₂⁾

Omvendt kan verdien av en salgsopsjon beregnes ved å bruke formelen:

Sett = K_e^{(-r * T) * N(-d2)} – S * N(-d₁)

I begge formlene er S aksjekursen, K er strikekursen, r er risikofri rente, og T er tiden til forfall.

Formelen for d₁ er:

(ln(S/K) + (r + (Annualisert Volatilitet)²/2) * T)/(Annualisert Volatilitet * (T^0,5))

Formelen for d₂ er:

d1 – (annualisert volatilitet) * (T^0,5)

Spesielle hensyn

Heston-modellen er bemerkelsesverdig fordi den søker å sørge for en av hovedbegrensningene til Black-Scholes-modellen som holder volatiliteten konstant. Bruken av stokastiske variabler i Heston-modellen sørger for forestillingen om at volatiliteten ikke er konstant, men vilkårlig.

Både den grunnleggende Black-Scholes-modellen og Heston-modellen gir fortsatt kun anslag for opsjonsprising for en europeisk opsjon, som er en opsjon som kun kan utøves på utløpsdatoen. Ulike forskning og modeller har blitt studert for prising av amerikanske alternativer gjennom både Black-Scholes og Heston-modellen. Disse variasjonene gir estimater for opsjoner som kan utøves på en hvilken som helst dato frem til utløpsdatoen, slik tilfellet er for amerikanske opsjoner.

Høydepunkter

– Dette betyr at modellen forutsetter at volatiliteten er vilkårlig, i motsetning til Black-Scholes-modellen som holder volatiliteten konstant.

Heston-modellen er en opsjonsprisingsmodell som bruker stokastisk volatilitet.

– Heston-modellen er en type volatilitetssmilemodell, som er en grafisk representasjon av flere alternativer med identiske utløpsdatoer som viser økende volatilitet ettersom alternativene blir mer ITM eller OTM.