Model Heston

Jaki jest model Hestona?

Model Hestona, nazwany na cześć Steve'a Hestona, jest rodzajem stochastycznego modelu zmienności stosowanego do wyceny opcji europejskich.

Zrozumienie modelu Heston

Model Hestona, opracowany przez profesora nadzwyczajnego finansów Stevena Hestona w 1993 roku, jest modelem wyceny opcji, który można wykorzystać do wyceny opcji na różne papiery wartościowe. Jest on porównywalny z bardziej popularnym modelem wyceny opcji Black-Scholes.

Ogólnie rzecz biorąc, modele wyceny opcji są używane przez zaawansowanych inwestorów do oszacowania i oceny ceny konkretnej opcji, handlując bazowym papierem wartościowym na rynku finansowym. Opcje, podobnie jak ich bazowe zabezpieczenia, będą miały ceny zmieniające się w ciągu dnia handlowego. Modele wyceny opcji mają na celu analizę i integrację zmiennych, które powodują wahania cen opcji w celu określenia najlepszej ceny opcji dla inwestycji.

Jako stochastyczny model zmienności,. model Hestona wykorzystuje metody statystyczne do obliczania i prognozowania cen opcji przy założeniu, że zmienność jest arbitralna. Założenie, że zmienność jest arbitralna, a nie stała, jest kluczowym czynnikiem, który sprawia, że stochastyczne modele zmienności są wyjątkowe. Inne typy stochastycznych modeli zmienności obejmują model SABR, model Chen i model GARCH.

Kluczowe różnice

Model Hestona posiada cechy odróżniające go od innych stochastycznych modeli zmienności, a mianowicie:

Uwzględnia możliwą korelację między ceną akcji a jej zmiennością.
Przekazuje zmienność jako powrót do średniej.
Daje rozwiązanie w formie zamkniętej, co oznacza, że odpowiedź pochodzi z przyjętego zestawu operacji matematycznych.
Nie wymaga, aby ceny akcji podążały za logarytmicznym rozkładem prawdopodobieństwa.

Model Hestona jest również rodzajem modelu uśmiechu zmienności. „Uśmiech” odnosi się do uśmiechu zmienności, graficznej reprezentacji kilku opcji z identycznymi datami wygaśnięcia, które wykazują rosnącą zmienność, gdy opcje stają się coraz bardziej in-the-money (ITM) lub out-of -the -money (OTM). Nazwa modelu uśmiechu wywodzi się od wklęsłego kształtu wykresu, który przypomina uśmiech.

Metodologia modelu Heston

Model Heston to zamknięte rozwiązanie do wyceny opcji, które ma na celu przezwyciężenie niektórych niedociągnięć przedstawionych w modelu wyceny opcji Blacka-Scholesa. Model Heston to narzędzie dla zaawansowanych inwestorów.

Kalkulacja wygląda następująco:

$\begin &dS_t = rS_tdt + \sqrt S_tdW_{1t} \ &dV_t = k ( \theta - V_t ) dt+ \sigma \sqrt dW_{2t} \ &\textbf \ &S_t = \text{cena aktywów w czasie } t \ &r = \text{stopa procentowa wolna od ryzyka -- teoretyczna stopa dla} \ &\text \ &\sqrt = \text{ zmienność (odchylenie standardowe) ceny aktywów} \ &\sigma = \text{zmienność } \sqrt \ &\theta = \text{długoterminowa zmienność ceny} \ &k = \text{szybkość powrotu do } \theta \ &dt = \text{nieskończenie mały dodatni przyrost czasu} \ &W_{1t} = \text{ruch Browna ceny aktywów} \ &W_ {2t} = \text{Ruch Browna wariancji ceny aktywów} \ \end$

c34,79,3,68.167,158,7,102,5,238c34,3,79,3,51,8,119,3,52,5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3567,-271.3567c-38.7.80.7,-84.175,-136.283c-52.108,-89.167,185,3,-111.5,232

c-22.3.46,7,-33.8,70,3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/> St dW 1t d Vt=k(θ−V t )dt+σVt

c34,79,3,68.167,158,7,102,5,238c34,3,79,3,51,8,119,3,52,5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3567,-271.3567c-38.7.80.7,-84.175,-136.283c-52.108,-89.167,185,3,-111.5,232

c-22.3.46,7,-33.8,70,3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>dW2tgdzie: S t=cena aktywów w czasie tr= stopa procentowa wolna od ryzyka – teoretyczna stopa zasób bez ryzykaVt

c34,79,3,68.167,158,7,102,5,238c34,3,79,3,51,8,119,3,52,5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3567,-271.3567c-38.7.80.7,-84.175,-136.283c-52.108,-89.167,185,3,-111.5,232

c-22.3.46,7,-33.8,70,3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>=zmienność (odchylenie standardowe) ceny aktywówσ=zmienność Vt < szerokość svg='400e m' height='1,28em' viewBox='0 0 400000 1296' zachowajAspectRatio='xMinYMin wycinek'><ścieżka d='M263,681c0,7,0,18,39,7,52,119

c34,79,3,68.167,158,7,102,5,238c34,3,79,3,51,8,119,3,52,5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3512,-1067

l0 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3567,-271.3567c-38.7.80.7,-84.175,-136.283c-52.108,-89.167,185,3,-111.5,232

c-22.3.46,7,-33.8,70,3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/> θ=długoterminowa zmienność cenk=~~współczynnik powrotu do θ~~dt=nieskończenie mały dodatni przyrost czasu W1t=Ruch Browna cena aktywówW 2t=Ruch Browna wariancji ceny aktywa

Model Heston kontra Black-Scholes

Model Blacka-Scholesa do wyceny opcji został wprowadzony w latach 70. XX wieku i służył jako jeden z pierwszych modeli pomagających inwestorom w określeniu ceny związanej z opcją na papier wartościowy. Ogólnie pomogło to w promowaniu inwestowania w opcje, ponieważ stworzyło model analizy cen opcji na różne papiery wartościowe.

Zarówno model Blacka-Scholesa, jak i model Hestona opierają się na podstawowych obliczeniach, które można zakodować i zaprogramować za pomocą zaawansowanego programu Excel lub innych systemów ilościowych. Formuła opcji kupna Blacka-Scholesa jest obliczana poprzez pomnożenie ceny akcji przez skumulowaną funkcję standardowego rozkładu normalnego prawdopodobieństwa.

Następnie wartość bieżąca netto (NPV) ceny wykonania pomnożona przez skumulowany standardowy rozkład normalny jest odejmowana od wartości wynikowej z poprzedniego obliczenia.

W notacji matematycznej

Połączenie = S * N(d₁) – K_e^{(-r * T) * N(d}₂⁾

Odwrotnie, wartość opcji sprzedaży można obliczyć za pomocą wzoru:

Put = K_e^{(-r * T) * N(-d2)} – S * N(-d₁)

W obu formułach S to cena akcji, K to cena wykonania, r to wolna od ryzyka stopa procentowa, a T to czas do zapadalności.

Wzór na d₁ to:

(ln(S/K) + (r + (Zmienność roczna)²/2) * T)/(Zmienność roczna * (T^0,5))

Wzór na d₂ to:

d1 – (Zmienność roczna) * (T^0,5)

Uwagi specjalne

Model Hestona jest godny uwagi, ponieważ stara się zapewnić jedno z głównych ograniczeń modelu Blacka-Scholesa, który utrzymuje stałą zmienność. Użycie zmiennych stochastycznych w modelu Hestona zakłada, że zmienność nie jest stała, ale arbitralna.

Zarówno podstawowy model Blacka-Scholesa, jak i model Hestona nadal dostarczają jedynie szacunkowych wycen opcji dla opcji europejskiej, która jest opcją, którą można zrealizować dopiero w dniu jej wygaśnięcia. Przeprowadzono różne badania i modele wyceny opcji amerykańskich za pomocą zarówno modelu Blacka-Scholesa, jak i modelu Hestona. Zmiany te dostarczają oszacowań opcji, które można zrealizować w dowolnym dniu poprzedzającym datę wygaśnięcia, tak jak ma to miejsce w przypadku opcji amerykańskich.

Przegląd najważniejszych wydarzeń

Oznacza to, że model zakłada, że zmienność jest arbitralna, w przeciwieństwie do modelu Blacka-Scholesa, który utrzymuje stałą zmienność.

Model Hestona to model wyceny opcji, który wykorzystuje zmienność stochastyczną.

Model Hestona jest rodzajem modelu uśmiechu zmienności, który jest graficzną reprezentacją kilku opcji z identycznymi datami wygaśnięcia, które wykazują rosnącą zmienność, gdy opcje stają się coraz bardziej ITM lub OTM.